Bài 1.40 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)                                                             

 b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(2(x - k) =  \pm {(x - 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - {x^2} + 4x - 1 = 2k} \cr {{x^2} + 1 = 2k} \cr} } \right.\)

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y =  - {x^2} + 4x - 1\)  và  \(y = {x^2} + 1\) 

Từ đồ thị ta suy ra:

2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{1 < k < {3 \over 2},{\rm{or}}{1 \over 2} < k < 1(1)} \cr
{k = 1,\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {1 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {3 \over 2}(2)} \cr
{k > {3 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k < {1 \over 2}(3)} \cr} } \right.\)

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(x + 1)^2}(2 - x)\) .

\(y =  - {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow  y' =  - 3{x^2} + 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{
{x = 1} \cr
{x = - 1} \cr} } \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

* k > 4  hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

* k  = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

* 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.

Sachbaitap.com