Bài 17 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho ba vectơ \(\overrightarrow u (3;7;0),\overrightarrow v (2;3;1),\overrightarrow {\rm{w}} (3; - 2;4).\)

a) Chứng minh \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) không đồng phẳng.

b) Biểu thị vec tơ \(\overrightarrow a ( - 4; - 12;3)\) theo ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \).

Giải

\(\eqalign{  & a)\;\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \matrix{  7 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  0 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  3 \hfill \cr  2 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  7 \hfill \cr  3 \hfill \cr}  \right|} \right)\cr&  = (7; - 3; - 5)  \cr  &  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {\rm{w}} = 21 + 6 - 20 = 7 \ne 0. \cr} \)

Vậy \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) không đồng phẳng.

\(\eqalign{  & b)\;\overrightarrow a  = m\overrightarrow u  + n\overrightarrow v  + k\overrightarrow {\rm{w}}   \cr  &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  3m + 2n + 3k =  - 4 \hfill \cr  7m + 3n - 2k =  - 12 \hfill \cr  n + 4k = 3 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  m =  - 5 \hfill \cr  n = 7 \hfill \cr  k =  - 1. \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(\overrightarrow a  =  - 5\overrightarrow u  + 7\overrightarrow v  - \overrightarrow {\rm{w}} .\)

Sachbaitap.com