Bài 2 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với

a) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}\) ;

b) \({u_n} = {{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}\)    

Giải:

a)      Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\)       (1)

Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)

Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)

Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)

b)      Hướng dẫn : \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}\)