Bài 2.17 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

a)      Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức

$$C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5$$

b)      Chứng minh công thức Niu-tơn 

$$C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{\rm{   }}\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right)$$

c)      Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng

$$S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!$$

Giải:

a)      Cách thứ nhất: Chọn 9 bạn nam trong 50 bạnđể làm trực nhật. Có \(C_{50}^9\) cách.

Khi đã chọnđược 9 bạn rồi, chọn 4 trong 9 bạnđó để quét sân. Có \(C_9^4\) cách.

Từ đó, theo quy tắc nhân, có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công.

Cách thứ hai: Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

b)      Lập luận tương tự.

c)      Ta có: \)0! = 1;{\rm{ }}2! = 2;{\rm{ }}4! = 1.2.3.4 = 24\)

Các số hạng \(6!{\rm{ }};{\rm{ }}8!{\rm{ }};{\rm{ }}...{\rm{ ; 100!}}\) đều có tận cùnglà chữ số 0. Do đó chữ số ở  hàng đơn vị của S là 1 + 2 + 4 = 7