Bài 2.23 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho \(AH = {{4r} \over 3}\) . Mặt phẳng \((\alpha )\) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

a) Tính diện tích của hình tròn (C) .

b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.

Hướng dẫn làm bài:

Hình 2.45

a) Theo giả thiết ta có \(AH = {{4r} \over 3}\)

Ta suy ra \(OH = {r \over 3}\) . Gọi r’ là bán kính của đường tròn (C).

Ta có: \(r{'^2} = {r^2} - O{H^2} = {r^2} - {{{r^2}} \over 9} = {{8{r^2}} \over 9}\)

Vậy diện tích của hình tròn (C) là: \(S = \pi r{'^2} = {{8\pi {r^2}} \over 9}\)

b) Vì BCD là tam giác đều nên ta có: \(BC = r'.\sqrt 3  = {{2\sqrt 6 } \over 3}r\)     

Diện tích của tam giác đều BCD là \(S = {{B{C^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{24{r^2}} \over 9}.{{\sqrt 3 } \over 4} = {{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

Thể tích hình chóp  A.BCD là  : \(V = {1 \over 3}{{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{4r} \over 3} = {{8\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\)

Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:\({{{V_{A'.BCD}}} \over {{V_{A.BCD}}}} = {{HA'} \over {HA}} = {1 \over 2}\). Do đó,  \({V_{A'.BCD}} = {{4\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\).

Sachbaitap.com