Bài 2.27 trang 65 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\)  đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\)  xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Hướng dẫn làm bài

a) Tam giác vuông ABC có BC = 2a và AC = a nên ta suy ra \(\widehat {ABC} = {30^0}\) . Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón tròn  xoay có góc ở đỉnh bằng 60⁰  và có đường tròn đáy có bán kính AC = a. Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường tròn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm là trung điểm I để đoạn  AB và bán kính \(r = {{AB} \over 2}\).

b) Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M của nửa đường tròn đường kính AB và cạnh CD sẽ tọ nên giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.

Vẽ \(MH \bot AB\)

Ta có: \({{MH} \over {MB}} = {{CA} \over {CB}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)

Mặt khác ta có  CA² = CM. CB nên ta có \(CM = {{{a^2}} \over {2a}} = {a \over 2}\)

Do đó   \(BM = CB - CM = 2a - {a \over 2} = {3 \over 2}a\) và \(MH = {3 \over 4}a\)

c) Gọi S₁ là diện tích toàn phần của hình nón và S₂ là diện tích mặt cầu.

Ta có:  \({S_1} = \pi rl + \pi {r^2} = 2\pi {a^2} + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}\)

             \({S_2} = 4\pi {r^2} = 4\pi {(IA)^2} = 4\pi {({{a\sqrt 3 } \over 2})^2} = 3\pi {a^2}\)

Vậy S₁ = S₂  

Sachbaitap.com