Loigiaihay.com 2023

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 2.29 trang 66 sách bài tập (SBT) – Hình học 12.

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng  (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.

Hướng dẫn làm bài

a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC  phải nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Ta suy ra d’ // d. Do đó  d’ cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có  OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc \(\widehat {SCA}\) . Thực vậy vì \(SA \bot (ABC)\)  mà  \(AC \bot CB\) nên ta có \(SC \bot CB\). Do đó \(\widehat {SCA} = {30^0}\) .

Vì AB = 2a  nên ta có  \(AC = a\sqrt 2 \) ta suy ra \(SA = AC.\tan {30^0} = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 3} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\).

Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi \(\widehat {SCA} = {30^0}\) .

Ta có \(r = {{SB} \over 2} = OA = OB = OC = {\rm{OS}}\)  , trong đó  SB2 = SA2 + AB2

Vậy  \(S{B^2} = {{6{a^2}} \over 9} + 4{a^2} = {{42{a^2}} \over 9}\). Do đó,  \(SB = {{a\sqrt {42} } \over 3}\)

Ta suy ra  \(r = {{SB} \over 2} = {{a\sqrt {42} } \over 6}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Bài viết liên quan