Bài 25 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết \({V_{ABCD}} = 5.\) Tìm tọa độ đỉnh D.

Giải

Giả sử D (0;y;0) thuộc trục Oy . Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = (1; - 1;2),\cr&\overrightarrow {AD}  = ( - 2;y - 1;1),\cr&\overrightarrow {AC}  = (0; - 2;4)  \cr  &  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (0; - 4; - 2)  \cr  &  \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 4(y - 1) - 2 =  - 4y + 2. \cr} \)

Theo giả thiết \({V_{ABCD}} = 5 \Leftrightarrow {1 \over 6}\left| { - 4y + 2} \right| = 5\)

\( \Leftrightarrow \left| { - 4y + 2} \right| = 30 \Rightarrow y =  - 7\text{ hoặc } y = 8.\)

Vậy có hai điểm D trên trục Oy : (0;-7;0) và (0;8;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Sachbaitap.com