Bài 28 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện SABC có \(SC = CA = AB = a\sqrt 2 ,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t < 2a)\)

a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

Giải

a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng A, tia Ox chứa AC, tia Oy chứa AB và tia Oz cùng hướng tới tia CS (h.98). Khi đó, ta có:

\(A(0;0;0),B(0;a\sqrt 2 ;0),C(a\sqrt 2 ;0;0),\)

\(S(a\sqrt 2 ;0;a\sqrt 2 ),\)

\(\eqalign{  & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2  - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow  {MN}  = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}}   \cr  &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}}  \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(t = {{2a} \over 3}\) thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2a.

Vậy MN ngắn nhất bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\) khi \(t = {{2a} \over 3}.\)

b) Khi MN ngắn nhất thì :

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 3};{{a\sqrt 2 } \over 3}; - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SA}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung của SA và BC.

Sachbaitap.com