Bài 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 trang 22, 23 SGK Toán 8 tập 2 - Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 27 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Phương Pháp:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ -5.

Suy ra: 2x – 5 = 3(x + 5)

⇔ 2x – 5 = 3x + 15

⇔ -5 – 15 = 3x – 2x

⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 0.

Suy ra: 2(x² – 6) = 2x² + 3x

⇔ 2x² – 12 – 2x² – 3x = 0

⇔ - 12 - 3x = 0

⇔ -3x = 12

⇔ x = -4 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}.

c) Điều kiện xác định: x ≠ 3.

Suy ra: (x² + 2x) – (3x + 6) = 0

⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

⇔ (x – 3)(x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc x + 2 = 0

+ x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ)

+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

d) Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.

Suy ra: 5 = (2x – 1)(3x + 2) hay (2x – 1)(3x + 2) = 5

⇔ 2x.3x + 2x.2 – 1.3x – 1.2 = 5

⇔ 6x² + 4x – 3x – 2 – 5 = 0

⇔ 6x² + x – 7 = 0.

⇔ 6x² – 6x + 7x – 7 = 0

(Tách để phân tích vế trái thành nhân tử)

⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0

⇔ (6x + 7)(x – 1) = 0

⇔ 6x + 7 = 0 hoặc x – 1 = 0

+ 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = - 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ)

+ x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm 

Bài 28 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Suy ra: 2x – 1 + x – 1 = 1

⇔ 3x – 2 = 1

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện xác định: x ≠ -1.

Suy ra: 5x + 2( x+ 1) = - 12

⇔ 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0.

Suy ra: x³ + x = x⁴ + 1

⇔ x⁴ + 1 – x – x³ = 0

⇔ (x⁴ – x³) + (1 – x) = 0

 ⇔ x³(x – 1) – (x – 1) = 0

⇔ (x³ – 1)(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x² + x + 1)(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)². (x² + x + 1) = 0

⇔ x – 1 = 0

(vì  với mọi x).

⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.

d) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.

Suy ra: x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2.x(x + 1)

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0

⇔ x² + 3x + x² – 2x + x – 2 – (2x² + 2x) = 0

⇔ x² + 3x + x² – 2x + x – 2 – 2x² - 2x = 0

⇔ x² + x² – 2x² + 3x + x – 2x – 2x – 2 = 0

⇔ 0x – 2 = 0

⇔ 0x = 2 (vô lí)

Phương trình vô nghiệm.

Kiến thức áp dụng

Bài 29 trang 22 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Bạn Sơn giải phương trình

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x – 5 có chứa ẩn. Hà giải bằng cách rút gọn vế trái như sau:

Phương pháp:

Phương pháp chứa ẩn ở mẫu

Bước 1:  Tìm xác định điều kiện của trình phương pháp

Bước 2:  Quy đồng mẫu của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Đã  nhận được Medium method.

Bước 4:  Kết luận.

Lời giải:

+) Cách làm của bạn Sơn sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã nhân cả hai vế với ( x- 5).

+) Cách làm của bạn Hà sai vì chưa đặt điều kiện xác định cho phương trình đã rút gọn cả hai vế cho biểu thức (x- 5) phụ thuộc biến x.

+) Cách giải đúng

Điều kiện xác định: x ≠ 5

Ta có:

Suy ra: x² – 5x = 5( x- 5)

x( x- 5) – 5(x – 5) = 0

( x- 5).( x- 5) =0

(x - 5)² = 0

x – 5= 0

x = 5 ( không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 30 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: x ≠ 2.

Suy ra: 1 + 3(x – 2) = -(x – 3)

⇔ 1 + 3x – 6 = -x + 3

⇔ 3x + x = 3 + 6 – 1

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2 (không thỏa mãn đkxđ).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện xác định: x ≠ -3.

Suy ra: 14x(x + 3) – 14x² = 28x + 2(x + 3)

⇔ 14x² + 42x – 14x² = 28x + 2x + 6

⇔ 42x – 28x – 2x = 6

⇔ 12x = 6

⇔ x = $\frac{1}{2}$. (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {$\frac{1}{2}$}.

c) Điều kiện xác định: x ≠ ±1.

Suy ra: x² + 2x + 1 – (x² – 2x + 1) = 4

⇔ x² + 2x + 1 – x² + 2x – 1 = 4

⇔ 4x = 4

⇔ x = 1 (không thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) Điều kiện xác định: x ≠ -7; x ≠ $\frac{3}{2}$.

Suy ra: (3x – 2)(2x – 3) = (6x + 1)(x + 7)

⇔ 6x² – 9x – 4x + 6 = 6x² + 42x + x + 7

⇔ - 4x - 9x - 42x - x = 7 - 6

⇔ - 56x = 1

⇔ x = $\frac{-1}{56}$ (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {$\frac{-1}{56}$}.

Kiến thức áp dụng

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta cần:

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (các mẫu thức khác 0).

+ Bước 2: Quy đồng mẫu số cả hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

+ Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được (Đưa về pt bậc nhất, đưa về pt tích; …)

+ Bước 4: Đối chiếu nghiệm với đkxđ rồi kết luận.

Bài 31 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Giải các phương trình:

Lời giải:

a.\(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\) (1)

Ta có: \(x - 1 ≠ 0 \Leftrightarrow x ≠ 1\) và \({x^3} - 1 \ne 0\) khi \(x^3 \ne 1\) hay \(x \ne 1\)

\(  {x^2+x + 1} = {{x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} \)

\( =  {{x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}\)

\(= {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}\) 

Ta có: \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) nên \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Do đó: 

ĐKXĐ:  \(x ≠ 1\)

MTC= \({x^3} - 1=(x-1)(x^2+x+1)\)

Ta có:

(1) \(  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}\)

\(\Rightarrow {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)

\( \Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1\)

\( \Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - 1 = 0 \hfill \\
4x + 1 = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
4x = - 1 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1}\text{( loại)} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\text{(thỏa mãn)}\cr} }\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{1}{4}\)

b.\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) (2)

ĐKXĐ: \(x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3\)

MTC= \((x-1)(x-2)(x-3)\)

Ta có: (2) 

\( \Rightarrow 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1\)

\(\Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)

\( \Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1\)

\( \Leftrightarrow 5x - x =  - 1 + 13\)

\(⇔ 4x = 12\)

\( \Leftrightarrow x = 12:4\)

\(⇔ x = 3\) (không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c. \(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)(3)

Ta có:  \(8 + {x^3} \ne 0\)\(\Leftrightarrow x^3  ≠ -8 ⇔ x ≠ -2\)

ĐKXĐ: \(x ≠ -2\)

MTC= \(8 + {x^3}=(x+2)(x^2-2x+4)\)

Ta có: (3) \( \Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

\( \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \)

\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)

⇔\(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0\)

⇔ \(x(x + 2)(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\left( \text{ thỏa mãn} \right)\\
x = - 2\left( \text{ loại} \right)\\
x = 1\left( \text{ thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

d. \(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}} \)\(\,= \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) (4)

ĐKXĐ: \(x \ne 3,x \ne  - 3,x \ne  - \dfrac{7}{2}\)

MTC= \({\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}\left( {2x + 7} \right)\)

Ta có: (4)

\( \Rightarrow 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \)\(= 6\left( {2x + 7} \right) \)

\(\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 = 12x + 42\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 13x + 30 - 12x - 42 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 3 = 0\\
x + 4 = 0
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\left( \text{không thỏa mãn} \right)\\
x = - 4\left( \text{thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{-4 \right\}\). 

Bài 32 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

Giải các phương trình:

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ 0

ĐKXĐ: x ≠ 0

Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.

Bài 33 trang 23 SGK Toán lớp 8 tập 2

Câu hỏi:

 Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2:

Lời giải:

Suy ra: (3a – 1)(a + 3) + (a – 3)(3a + 1) = 2(3a + 1)(a + 3)

⇔ 3a² + 9a – a – 3 + 3a² + a – 9a – 3 = 2(3a² + 9a + a + 3)

⇔ 6a²– 6 = 6a² + 18a + 2a + 6

⇔ 6a²– 6 − 6a² − 18a − 2a – 6 = 0

⇔ −20a – 12 = 0

⇔ −20a = 12

⇔ a =  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với a =  thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.

b) Để biểu thức có giá trị bằng 2 thì 

ĐKXĐ: a ≠ -3 ta có:

Suy ra: (3a – 1)(a + 3) + (a – 3)(3a + 1) = 2(3a + 1)(a + 3)

⇔ 3a² + 9a – a – 3 + 3a² + a – 9a – 3 = 2(3a² + 9a + a + 3)

⇔ 6a²– 6 = 6a² + 18a + 2a + 6

⇔ 6a²– 6 − 6a² − 18a − 2a – 6 = 0

⇔ −20a – 12 = 0

⇔ −20a = 12

⇔ a =  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với a =  thì biểu thức đã cho có giá trị bằng 2.

Sachbaitap.com