Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 3.3 trang 131 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho

Cho tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD lần lượt ta lấy các điểm M, N sao cho

\({{AM} \over {AC}} = {{BN} \over {B{\rm{D}}}} = k\left( {k > 0} \right)\)

Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.

Giải:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {P{\rm{D}}} } \right) \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AP} } \right) + \left( {\overrightarrow {B{\rm{D}}} - \overrightarrow {BP} } \right)} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} } \right) - \underbrace {\left( {\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BP} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right] \cr
& = {1 \over 2}.{1 \over k}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} } \right) \cr} \) 

Vì \(\overrightarrow {AC}  = {1 \over k}.\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {B{\rm{D}}}  = {1 \over k}.\overrightarrow {BN} \)

Đồng thời \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {PM} \) và \(\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BP}  + \overrightarrow {PN} \), nên \(\overrightarrow {PQ}  = {1 \over {2k}}\left( {\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN} } \right)\) vì \(\overrightarrow {AP}  + \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(\overrightarrow {PQ}  = {1 \over {2k}}\overrightarrow {PM}  + {1 \over {2k}}\overrightarrow {PN} \)

Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan