Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 3.7 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

Giải các phương trình sau:

Giải các phương trình sau:

a) \(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x + 2\cos 2x = 0\)

b) \(\sin x - {1 \over {\sin x}} = {\sin ^2}x - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\)

c) \(\cos x\tan 3x = \sin 5x\)

d) \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\)

Giải:

a) \(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x + 2\cos 2x = 0{\rm{        }}\left( 1 \right)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& 1 - \sin 2x = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2}; \cr
& 2\cos 2x = 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) \cr
& = - 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right), \cr} \)

Vậy 

\(\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \sin x - \cos x - 2\sin x - 2\cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x - 3\cos x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = \cos x \hfill \cr
3\cos x + \sin x = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
{3 \over {\sqrt {10} }}\cos x + {1 \over {\sqrt {10} }}\sin x = {1 \over {\sqrt {10} }} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \hfill \cr
x = \alpha \pm \arccos {1 \over {\sqrt {10} }} + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

trong đó, \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {10} }},\sin \alpha  = {1 \over {\sqrt {10} }}\)

b) \(\sin x - {1 \over {\sin x}} = {\sin ^2}x - {1 \over {{{\sin }^2}x}}\left( 2 \right)\)

Điều kiện sinx ≠ 0

\(\eqalign{
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {\sin x - {{\sin }^2}x} \right) + \left( {{1 \over {{{\sin }^2}x}} - {1 \over {\sin x}}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\left( {1 - \sin x} \right) + {{1 - \sin x} \over {{{\sin }^2}x}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {{{\sin }^3}x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 1 \hfill \cr
\sin x = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \cr} \)

(thỏa mãn điều kiện)

c) \(\cos x\tan 3x = \sin 5x\left( 3 \right)\)

Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

\(\eqalign{
& \left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos x\sin 3x = \cos 3x\sin 5x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) = {1 \over 2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow \sin 8x = \sin 4x \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
8x = 4x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr
8x = \pi - 4x + k2\pi ,k \in Z \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = k{\pi \over 2},k \in Z \hfill \cr
x = {\pi \over {12}} + k{\pi \over 6},k \in Z \hfill \cr} \right. \cr} \)

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

\(x = k\pi ,k \in Z\) và \(x = {\pi  \over {12}} + k{\pi  \over 6},k \in Z\)

d) \(2{\tan ^2}x + 3\tan x + 2{\cot ^2}x + 3\cot x + 2 = 0\left( 4 \right)\)

Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,

\(\eqalign{
& \left( 4 \right) \Leftrightarrow 2\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {\tan x + \cot x} \right)}^2} - 2} \right] + 3\left( {\tan x + \cot x} \right) + 2 = 0 \cr}\)

Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

\(2{t^2} + 3t - 2 = 0 \Rightarrow t =  - 2,t = {1 \over 2}\)

Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x + 1 = 0 \Rightarrow \tan x = - 1 \cr
& \Rightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z{\rm{ }} \cr} \)

(thỏa mãn điều kiện)

Với \(t = {1 \over 2}\) ta có \(\tan x + \cot x = {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - \tan x + 2 = 0\)

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là \(x =  - {\pi  \over 4} + k\pi ,k \in Z\)

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài viết liên quan