Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow a$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow 0$. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow a$ . Chứng minh rằng: ${\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1$

Hướng dẫn làm bài:

Gọi $\overrightarrow {{a_0}}$ là vecto đơn vị cùng hướng  với vecto $\overrightarrow a$ , ta có $\overrightarrow {{a_0}}  = {1 \over {|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a$.

Gọi $\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}}$ và các điểm A₁, A₂, A₃ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A₀ trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:   ${{|\overrightarrow {O{A_1}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,{{|\overrightarrow {O{A_2}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,{{|\overrightarrow {O{A_3}} |} \over {|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma$

Vì  $|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1$ nên $|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma$

Ta có   $\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_2}}  + \overrightarrow {O{A_3}}$  , ta suy ra: $\overrightarrow {O{A_0}}  = \cos \alpha \overrightarrow i  + \cos \beta \overrightarrow j  + \cos \gamma \overrightarrow k$  hay $\overrightarrow {O{A_0}}  = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma )$  .

Vì   $\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}}$ mà $|\overrightarrow {{a_0}} | = 1$ nên ta có: ${\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1$

Sachbaitap.com