Bài 5.16 trang 221 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a)  \({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1\)                     b) \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)

c) \({7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7\)                           d) \({\log _4}(x + 2){\log _x}2 = 1\)

e) \({{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}\)                 f) \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = 2\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Vì  1 = 5⁰  nên ta có \({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1 \Leftrightarrow 6 \cos (3x + {\pi  \over 6}) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + {\pi  \over 6} = {\pi  \over 2} + k\pi \Rightarrow  x = {\pi  \over 9} + k{\pi  \over 3}(k \in Z)\)

b)  \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)                   (1)

Vì  \({4^x},{6^x},{9^x}\)  đều khác 0 với mọi \(x \in R\) nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho \({4^x}\)  hoặc \({6^x}\)  hoặc \({9^x}\) , ta được phương trình tương đương.

Chia cả hai vế cho  \({6^x}\), ta có: \((1) \Leftrightarrow 6.{({2 \over 3})^x} - 13 + 6.{({3 \over 2})^x} = 0\)

Đặt\({({2 \over 3})^x} = t(t > 0)\) , ta có:

\(6t - 13 + {6 \over t} = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 13t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = {3 \over 2}} \cr {t = {2 \over 3}} \cr} } \right.\)

+) Với  \(t = {2 \over 3}\) ta có  \({({2 \over 3})^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrow x = 1\)

+) Với  \(t = {3 \over 2}\) ta có  \({({2 \over 3})^x} = {3 \over 2} \Leftrightarrow x =  - 1\)

c) Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:

\({x^2} + 2x.{\log _7}5 - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{\log }_7}5 - \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr {x = - {{\log }_7}5 + \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr} } \right.\)

d) \({\log _4}(x + 2).{\log _x}2 = 1\)

Điều kiện:  \(\left\{ \matrix{x + 2 > 0 \hfill \cr x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right.\)

\(1) \Leftrightarrow{1 \over 2}{\log _2}(x + 2).{1 \over {{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 2) = {\log _2}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1(loại)} \cr {x = 2} \cr} } \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

e) Điều kiện:  x > 0

Đổi sang cơ số 3 và đặt \({\log _3}x = t\) , ta được  phương trình: \({t \over {1 + t}} = {{2(2 + t)} \over {3(3 + t)}}\)

Giải phương trình ẩn t, ta được  \({t_1} = 1,{t_2} =  - 4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm  \({x_1} = 3;{x_2} = {1 \over {81}}\)

g) Điều kiện: 

\(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {2x - 2 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Đặt \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = f(x)\)

Dễ thấy f(x) là hàm số đồng biến. Mặt khác  f(3) = 2 nên ta có:

f(x) > f(3) = 2 với x > 3 và f(x) < f(3) = 2 với 1 < x < 3.

Từ đó suy ra  x = 3 là nghiệm duy nhất.

Sachbaitap.com