Bài 5.19 trang 222 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx} \) (đặt t  = x  +3)    

b) \(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx} \)

c) \(\int\limits_{ - 3}^2 {{{dx} \over {\sqrt {x + 7}  + 3}}} \)    (đặt \(t = \sqrt {x + 7} \)  hoặc \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\) )

d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos x} \over {1 + 4\sin x}}} dx\)                    

e)\(\int\limits_1^2 {{{{x^9}} \over {{x^{10}} + 4{x^5} + 4}}dx} \)   (đặt t = x⁵)

g) \(\int\limits_0^3 {(x + 2){e^{2x}}dx} \)                                           

h) \(\int\limits_2^5 {{{\sqrt {4 + x} } \over x}dx} \) (đặt \(t = \sqrt {4 + x} \) )

Hướng dẫn làm bài:

a) Đổi biến \( t = x + 3  \Rightarrow  x – 2 = t – 5\) . Khi x = - 2 thì t = 1, khi x = 4 thì t = 7, ta có:

\(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx = \int\limits_1^7 {(1 - {{10} \over t} + {{25} \over {{t^2}}}} } )dt\)

\(= (t - 10\ln t - {{25} \over t})\left| {\matrix{7 \cr 1 \cr} } \right. = 27{3 \over 7} - 10\ln 7\)

b)\(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx}\)

\( =  - 7\int\limits_{ - 4}^{ - 3} {dx}  + \int\limits_{ - 3}^4 {(2x - 1)dx}  + \int\limits_4^6 {7dx}  = 7\)

c) Đổi biến \(t = \sqrt {x + 7} \)  , ta có \(I = \int\limits_2^3 {{{2tdt} \over {t + 3}}}  = 2 - 6\ln 1,2\)

Nếu đổi biến \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\)  thì ta có \(I = \int\limits_5^6 {(2 - {6 \over t})dt} \)

d) Đổi biến \(t = 1 + 4\sin x\)  , ta có \(I = {1 \over 4}\int\limits_1^5 {{{dt} \over t}}  = {1 \over 4}\ln 5\)

e) Đổi biến \(t = {x^5}\)

\(\eqalign{
& I = {1 \over 5}\int\limits_1^{32} {{{tdt} \over {{t^2} + 4t + 4}}} \cr
& = {1 \over 5}\int\limits_1^{32} {{{(t + 2 - 2)dt} \over {{{(t + 2)}^2}}}} \cr
& = {1 \over 5}\int\limits_1^{32} {{\rm{[}}{1 \over {t + 2}} - {2 \over {{{(t + 2)}^2}}}{\rm{]}}dt} \cr
& = {1 \over 5}\left[ {\ln (t + 2) + {2 \over {t + 2}}} \right]\left| {\matrix{{32} \cr 1 \cr} = {1 \over 5}(\ln {{34}\over 3} - {{31} \over {51}})} \right. \cr} \)

g) Đặt   \(u = x + 2,dv = {e^{2x}}dx \Rightarrow du = dx,v = {1 \over 2}{e^{2x}}\)

Ta có  \(I = {1 \over 2}(x + 2){e^{2x}}\left| {\matrix{3 \cr 0 \cr} } \right. - {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^{2x}}} dx\)

\(= {1 \over 2}(5{e^6} - 2) - {1 \over 4}({e^6} - 1) = {3 \over 4}(3{e^6} - 1)\)

h) Đổi biến  \(t = \sqrt {4 + x} \)

\(I = 2\int\limits_{\sqrt 6 }^3 {(1 + {1 \over {t - 2}} - {1 \over {t + 2}})dt}\)

\(= 2(t + \ln {{t - 2} \over {t + 2}})\left| {\matrix{3 \cr {\sqrt 6 } \cr} } \right. \)

\(= 2[3 - \sqrt 6 - \ln (25 - 10\sqrt 6 ){\rm{]}}\)

Sachbaitap.com