Bài 5.22 trang 223 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục Ox:

a) y = x³ ; y = 1 và x = 3

b) \(y = {2 \over \pi }x;y = \sin x;x \in {\rm{[}}0;{\pi  \over 2}{\rm{]}}\)

c) \(y = {x^\alpha },\alpha  \in {N^*};y = 0;x = 0\) và x = 1

Hướng dẫn làm bài

a) 

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi miền CED quay quanh trục Ox là hiệu của hai thể tích (V₁ và V₂) của hai vật thể tròn xoay tương ứng sinh ra khi miền ACEB và miền ACDB quay quanh trục Ox. Như vậy  V = V₁ – V₂ , trong đó :

\({V_1} = \pi \int\limits_1^3 {{x^6}} dx = {1 \over 7}\pi {x^7}\left| {\matrix{3 \cr 1 \cr} } \right. = {\pi \over 7}({3^7} - 1)\)

\({V_2} = \pi \int\limits_1^3 {dx = 2\pi }\)

\(\Rightarrow V = {V_1} - {V_2} = {\pi  \over 7}({3^7} - 15) = 310{2 \over 7}\pi \) (đơn vị thể tích)

b)

Ta có V = V₁ – V₂ trong đó

\({V_1} = \pi \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin }^2}xdx}  = {{{\pi ^2}} \over 4}\)

\({V_2} = \pi \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{({2 \over \pi }x)}^2}dx = {{{\pi ^2}} \over 6}} \)

\(V = {V_1} - {V_2} = {{{\pi ^2}} \over {12}}\) (đơn vị thể tích)

c) Hình vẽ

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^{2\alpha }}dx}  = {\pi  \over {2\alpha  + 1}}\)

Sachbaitap.com