Bài 67 trang 133 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tính khoảng cách từ điểm M₀ tới đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau :

\(a)\;{M_0}(2;3;1),d:{{x + 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 1} \over { - 2}}.\)

\(b)\;{M_0}(2;3; - 1),\) d là giao tuyến của hai mặt phẳng

\(\left( \alpha  \right):x + y - 2z - 1 = 0\) và \(\left( {\alpha '} \right):x + 3y + 2z + 2 = 0;\)

\(\eqalign{  & c)\;{M_0}(1;2;1),d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = {{z + 3} \over 1}.  \cr  & d)\;{M_0}(1;0;0),d:{{x - 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {z \over 1}. \cr} \)

Giải

a) Đường thẳng d đi qua điểm M (-2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right).\) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} {\rm{ }} = \left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right)\)

\({\rm{ }}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( { - 8{\rm{ }};{\rm{ }}10{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {{M_o},d} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{{( - 8)}^2} + {{10}^2} + {6^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} \)

                       \(= {{\sqrt {200} } \over 3} = {{10\sqrt 2 } \over 3}\)

b) Ta xác định được một vectơ chỉ phương của d  là \(\overrightarrow u \)= (4 ; -2 ; 1).

Mặt phẳng (\(\alpha \)) đi qua M_o(2 ; 3 ; -1) và vuông góc với d có phương trình

\(4(x - 2) - 2(y - 3) + 1(z+ 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x - 2y + z - 1=0.\)

Gọi H  là giao điểm của d và (\(\alpha \)). Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \matrix{  4x - 2y + z - 1 = 0 \hfill \cr  x + y - 2z - 1 = 0 \hfill \cr  x + 3y + 2z + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow H = \left( {{3 \over {14}}; - {5 \over {14}}; - {8 \over {14}}} \right)\).

Khi đó

\(d({M_o},d) = M_oH \)

\(= \sqrt {{{\left( {2 - {3 \over {14}}} \right)}^2} + {{\left( {3 + {5 \over {14}}} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + {8 \over {14}}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{2870} \over {{{14}^2}}}}  = \sqrt {{{205} \over {14}}} \)     

c) \(d\left( {{M_o},d} \right) = {{\sqrt {9022} } \over {26}}.\)

d) \(d\left( {{M_o},d} \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}.\)

Sachbaitap.com