Xem thêm: Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^0},\widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = {120^0}\) .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Trả lời
Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow y ,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z \) thì
\(\eqalign{ & {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = {\overrightarrow z ^2} = {a^2} \cr & \overrightarrow x .\overrightarrow y = {{{a^2}} \over 2}; \cr & \overrightarrow x .\overrightarrow z = - {{{a^2}} \over 2}; \cr & \overrightarrow y .\overrightarrow z = - {{{a^2}} \over 2} \cr} \)
a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là góc \(\widehat {DA'B'}\) hoặc \({180^0} - \widehat {DA'B'}\) .
Đặt \(\widehat {DA'B'} = \alpha \).
Ta có:
\(\eqalign{ & A'D = a\sqrt 3 ,A'B' = a \cr & \overrightarrow {DB'} = \overrightarrow x - \overrightarrow y + \overrightarrow z \cr & \Rightarrow {\overrightarrow {DB'} ^2} = 3{{\rm{a}}^2} - {a^2} - {a^2} + {a^2} = 2{{\rm{a}}^2} \cr} \)
Vậy \(2{{\rm{a}}^2} = {a^2} + 3{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}}.a\sqrt 3 \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = {1 \over {\sqrt 3 }}\).
Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà \(\cos \alpha = {1 \over {\sqrt 3 }}\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \cr & \Rightarrow {\overrightarrow {AC'} ^2} = 3{a^2} + {a^2} - {a^2} - {a^2} = 2{a^2} \cr} \)
Dễ thấy AB’ = a.
Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ là hình vuông. Vậy AC’ ⊥ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.
b)
\({S_{A'B'C{\rm{D}}}} = A'D.A'B'\sin \widehat {DA'B'} = a\sqrt 3 .a.{{\sqrt 6 } \over 3}\) .
Vậy \({S_{A'B'C{\rm{D}}}} = {a^2}\sqrt 2 \)
Đặt \(\widehat {ACC'} = \beta \) thì \(AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} - 2{\rm{A}}C.CC'.\cos \beta \)
hay
\(\eqalign{ & 2{a^2} = 3{a^2} + {a^2} - 2a\sqrt 3 .a.\cos \beta \cr & \Rightarrow \cos \beta = {1 \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow \sin \beta = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
Vậy \({S_{ACC'A'}} = AC.CC'.\sin \beta = a\sqrt 3 .a.{{\sqrt 6 } \over 3} = {a^2}\sqrt 2 \)
c) Do \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \)
Suy ra:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow x \cr & = {a^2} + {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = {a^2} \cr} \)
hay
\(\eqalign{ & \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \gamma = {a^2} \cr & \Rightarrow \cos \gamma = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \gamma = {45^0} \cr} \)
Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow y \cr & = {{{a^2}} \over 2} + {a^2} - {{{a^2}} \over 2} = {a^2} \cr} \)
hay
\(\eqalign{ & \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|\cos \varphi = {a^2} \cr & \Rightarrow \cos \varphi = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0} \cr} \)
Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AA'} = \left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow z \cr & = - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} + {a^2} = 0 \cr} \)
Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°.
Sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục