Xem thêm: Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^0},\widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = {120^0}\) .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Trả lời
Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow y ,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z \) thì
\(\eqalign{ & {\overrightarrow x ^2} = {\overrightarrow y ^2} = {\overrightarrow z ^2} = {a^2} \cr & \overrightarrow x .\overrightarrow y = {{{a^2}} \over 2}; \cr & \overrightarrow x .\overrightarrow z = - {{{a^2}} \over 2}; \cr & \overrightarrow y .\overrightarrow z = - {{{a^2}} \over 2} \cr} \)
a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là góc \(\widehat {DA'B'}\) hoặc \({180^0} - \widehat {DA'B'}\) .
Đặt \(\widehat {DA'B'} = \alpha \).
Ta có:
\(\eqalign{ & A'D = a\sqrt 3 ,A'B' = a \cr & \overrightarrow {DB'} = \overrightarrow x - \overrightarrow y + \overrightarrow z \cr & \Rightarrow {\overrightarrow {DB'} ^2} = 3{{\rm{a}}^2} - {a^2} - {a^2} + {a^2} = 2{{\rm{a}}^2} \cr} \)
Vậy \(2{{\rm{a}}^2} = {a^2} + 3{{\rm{a}}^2} - 2{\rm{a}}.a\sqrt 3 \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = {1 \over {\sqrt 3 }}\).
Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà \(\cos \alpha = {1 \over {\sqrt 3 }}\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \cr & \Rightarrow {\overrightarrow {AC'} ^2} = 3{a^2} + {a^2} - {a^2} - {a^2} = 2{a^2} \cr} \)
Dễ thấy AB’ = a.
Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ là hình vuông. Vậy AC’ ⊥ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.
b)
\({S_{A'B'C{\rm{D}}}} = A'D.A'B'\sin \widehat {DA'B'} = a\sqrt 3 .a.{{\sqrt 6 } \over 3}\) .
Vậy \({S_{A'B'C{\rm{D}}}} = {a^2}\sqrt 2 \)
Đặt \(\widehat {ACC'} = \beta \) thì \(AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} - 2{\rm{A}}C.CC'.\cos \beta \)
hay
\(\eqalign{ & 2{a^2} = 3{a^2} + {a^2} - 2a\sqrt 3 .a.\cos \beta \cr & \Rightarrow \cos \beta = {1 \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow \sin \beta = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
Vậy \({S_{ACC'A'}} = AC.CC'.\sin \beta = a\sqrt 3 .a.{{\sqrt 6 } \over 3} = {a^2}\sqrt 2 \)
c) Do \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z \)
Suy ra:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow x \cr & = {a^2} + {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = {a^2} \cr} \)
hay
\(\eqalign{ & \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\cos \gamma = {a^2} \cr & \Rightarrow \cos \gamma = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \gamma = {45^0} \cr} \)
Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow y \cr & = {{{a^2}} \over 2} + {a^2} - {{{a^2}} \over 2} = {a^2} \cr} \)
hay
\(\eqalign{ & \left| {\overrightarrow {AC'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|\cos \varphi = {a^2} \cr & \Rightarrow \cos \varphi = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0} \cr} \)
Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {AA'} = \left( {\overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z } \right)\overrightarrow z \cr & = - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} + {a^2} = 0 \cr} \)
Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°.
Sachbaitap.com
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục