Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a. Lấy điểm B1 thuộc BB’, điểm C1 thuộc CC’. Đặt \(B{B_1} = x,C{C_1} = y\).

a) Tam giác AB1C1 có thể vuông ở A được không? Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để AB1C1 là tam giác vuông tại B1.

b) Giả sử AB1C1 là tam giác thường và B1 là trung điểm của BB’, y = 2x và α là góc giữa mp(ABC) và mp(AB1C1). Hãy tính diện tích tam giác AB1C1 và độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho.

Trả lời

 

a) ● Tam giác AB1C1 vuông ở A khi và chỉ khi

\({B_1}C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2\)

Mặt khác

\(\eqalign{  & {B_1}C_1^2 = {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2}  \cr  & AB_1^2 = {a^2} + {x^2}  \cr  & AC_1^2 = {a^2} + {y^2} \cr} \)

Do đó tam giác AB1C1 vuông ở A khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2} = 2{{\rm{a}}^2} + {x^2} + {y^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y =  - {a^2} \cr} \)

Điều này không xảy ra. Vậy tam giác AB1C1 không thể vuông tại A được.

● Tam giác AB1C1 vuông tại B1 khi và chỉ khi

\(\eqalign{  & AC_1^2 = AB_1^2 + {B_1}C_1^2  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {y^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {\left( {x - y} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 2{\rm{x}}y = 2{{\rm{x}}^2} + {a^2} \cr} \)

Đó là hệt thức liên hệ giữa a, x, y để tam giác AB1C1 vuông tại B1.

b) Khi B1 là trung điểm của BB’, y =  2x thì C1 trùng với C’.

Gọi \(I = BC \cap {B_1}C'\) thì \(AI = \left( {A{B_1}C'} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

Vì \({B_1}B = {1 \over 2}BB'\) nên BI =  BC, từ đó ta có IAC là tam giác vuông tại A, tức là \(AC \bot AI\).

Mặt khác, \(C'C \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AC' \bot AI\) (định lí ba đường vuông góc).

Như vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(AB1C’) và mp(ABC).

Theo giả thiết thì \(\widehat {C'AC} = \alpha \)

Từ đó \({S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \alpha \)

tức là \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \alpha }}\)

Như vậy \({S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {4\cos \alpha }}\)

Ta có: \(CC' = AC\tan \alpha  = a\tan \alpha \)

Vậy độ dài cạnh bên của hình lăng trụ đã cho là \(a\tan \alpha \).

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>>Học trực tuyến các môn lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Bài viết liên quan