Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9;

b) \(\sqrt 2  + \sqrt 3 \) và 3;

c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16;

d) \(\sqrt {11}  - \sqrt 3 \) và 2.

Gợi ý làm bài

a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9

Ta có : 9 = 6 + 3

So sánh: \(2\sqrt 2 \) và 3 vì  \(2\sqrt 2 \) > 0 và 3 > 0

Ta có: \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8\)

\({3^2} = 9\)

Vì 8 < 9 nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2  < 3\)

Vậy \(6 + 2\sqrt 2  < 9.\)

b) \(\sqrt 2  + \sqrt 3 \) và 3

Ta có: 

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \)

\({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\)

So sánh: \(\sqrt 2 .\sqrt 3 \) và 2

Ta có:  

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 2.3 = 6 \cr} \)

\({2^2} = 4\)

Vì 6 > 4 nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\)

Suy ra: 

\(\eqalign{
& \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr
& \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr
& \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \)

Vậy \(\sqrt 2  + \sqrt 3  > 3\)

c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16

So sánh \(4\sqrt 5 \) và 7

Ta có: \(80 > 49 \Rightarrow \sqrt {80}  > \sqrt 49  \Rightarrow 4\sqrt 5 > 7 \)

Từ đó

\(\eqalign{
&  4\sqrt 5 > 7 \cr
& \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 9 + 7 \cr} \)

Vậy \(9 + 4\sqrt 5  > 16\).

d) \(\sqrt {11}  - \sqrt 3 \) và 2

Vì \(\sqrt {11}  > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11}  - \sqrt 3  > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr
& = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \)

So sánh 10 và \(2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) hay so sánh giữa 5 và \(\sqrt {11} .\sqrt 3 \)

Ta có: \({5^2} = 25\)

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr
& = 11.3 = 33 \cr} \)

Vì 25 < 33 nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\)

Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3  \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \)

Suy ra :

\(\eqalign{
& 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \)

Vậy \(\sqrt {11}  - \sqrt 3  < 2\)

Sachbaitap.net