Câu 2.111 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải và biện luận phương trình sau:

a) \({\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m;\)                                               

b) \({4^{\sin x}} + {2^{1 + \sin x}} = m\)      

Giải

a) Điều kiện \(x > 2,x > 0\). Đưa về tìm nghiệm lớn hơn 2 của phương trình \(x = \left( {x - 2} \right){m^2}\) hay  \(\left( {1 - {m^2}} \right)x =  - 2{m^2}\)   

Vậy

+) \(m > 1\)  thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {{2{m^2}} \over {{m^2} - 1}}\)

+) \(m \le 1\)  thì phương trình vô nghiệm.                  

b) Đặt \({2^{\sin x}} = y\), vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên  \({1 \over 2} \le y \le 2\)

Ta có phương trình: \({y^2} + 2y - m = 0\)   (1)

Tính được: \(\Delta ' = 1 + m\)

- Với \(m <  - 1\)  thì (1) vô nghiệm.

- Với \(m =  - 1\)  thì (1) có nghiệm kép \(y =  - 1\)  (loại)

- Với \(m >  - 1\)  thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({y_1} =  - 1 + \sqrt {m + 1} \)  và \({y_2} =  - 1 - \sqrt {m + 1} \) (loại)

\({y_1} =  - 1 + \sqrt {m + 1} \) thỏa mãn điều kiện khi

 \(\left\{ \matrix{- 1 + \sqrt {m + 1}  \ge {1 \over 2} \hfill \cr- 1 + \sqrt {m + 1}  \le 2 \hfill \cr}  \right.\)  tức là \(\left\{ \matrix{m \ge {5 \over 4} \hfill \cr m \le 8 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó

\({2^{\sin x}} =  - 1 + \sqrt {m + 1} \)

\(\Leftrightarrow \sin x = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt {m + 1} } \right) = \sin \varphi\)

\(\left( { - {\pi  \over 2} \le \varphi  \le {\pi  \over 2}} \right)\)

Ta có \(x = \varphi  + k2\pi ;x = \pi  - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Từ đó ta đi đến kết luận 

+) Với \(m < {5 \over 4}\) hoặc \(m > 8\): Phương trình vô nghiệm.

+) Với \(m = {5 \over 4}\): Phương trình có nghiệm \(x =  - {\pi  \over 2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)   

+) Với \(m = 8\): Phương trình có nghiệm \(x = {\pi  \over 2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

+) Với \({5 \over 4} < m < 8\): Phương trình có nghiệm \(x = \varphi  + k2\pi ;x = \pi  - \varphi  + k2\pi \) với \(\varphi  = {\log _2}\left( { - 1 + \sqrt {m + 1} } \right),k \in Z\)

Sachbaitap.com