31. Trang 56 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.
Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng:
a) Nếu bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng thì \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\).
b) Nếu \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1\) thì bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
Giải
a) Trường hợp 1. MN // EF
Theo hệ quả của định lí giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ACD), (MNEF) ta có MN//EF // AC. Do đó ta có:
\({{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NB}},\,{{EC} \over {ED}} = {{FA} \over {FD}}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} \cr
& = {{NC} \over {NB}}. {{NB} \over {NC}}.{{FA} \over {FD}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \cr} \) suy ra điều phải chứng minh.
Trường hợp 2. MN cắt EF tại O.
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ADC), (MNEF) ta có MN, AC, EF đồng quy tại O. Kẻ \(CI//AB,\,CJ//AD\,\left( {I \in MN,\,J \in FE} \right),\) ta có:
\(\eqalign{
& {{NB} \over {NC}} = {{MB} \over {CI}},\,{{OC} \over {OA}} = {{CI} \over {MA}} \cr
& \Rightarrow {{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{OC} \over {OA.}} \cr
& = {{MA} \over {MB}}.{{MB} \over {CI}}.{{CI} \over {MA}} = 1 \cr} \)
Tương tự ta có:
\({{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}}.{{OA} \over {OC}} = 1\)
Vậy \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = {{OA} \over {OC}}.{{OC} \over {OA}} = 1\)
b) Giả sử mặt phẳng (MNE) cắt cạnh AD tại F’. Theo câu a), ta có:
\({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{F'D} \over {F'A}} = 1\)
Theo giả thiết \({{MA} \over {MB}}.{{NB} \over {NC}}.{{EC} \over {ED}}.{{FD} \over {FA}} = 1 \Rightarrow F'D = FD\).
Vì F, F’ đều nằm trong đoạn thẳng AD nên \(F' \equiv F\) . Điều này có nghĩa là bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục