Câu 4.44 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hai số phức phân biệt ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$  khi và chỉ khi ${{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}$ là số ảo.

Giải

${z_1} \ne {z_2}$ thì ${{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}$ là số ảo $\Leftrightarrow {{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}} + \overline {\left( {{{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}} \right)}  = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)}  + \left( {{z_1} - {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}  = 0$

$\Leftrightarrow 2\left( {{z_1}\overline {{z_1}}  - {z_2}\overline {{z_2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$.

Sachbaitap.com