Câu 4.44 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hai số phức phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\)  khi và chỉ khi \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo.

Giải

\({z_1} \ne {z_2}\) thì \({{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow {{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}} + \overline {\left( {{{{z_1} + {z_2}} \over {{z_1} - {z_2}}}} \right)}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)}  + \left( {{z_1} - {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{z_1}\overline {{z_1}}  - {z_2}\overline {{z_2}} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

Sachbaitap.com