Câu 4.45 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Cho số phức \(\alpha  = a + bi\left( {a,b \in Z} \right)\) khác 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) sao cho \(\bar \alpha z + \alpha \bar z\) (k là số thực cho trước) là một đường thẳng.

b) Tìm \(\alpha \) và k trong câu a) để đường thẳng nói trên đi qua điểm biểu diễn số 2 và 3i.

Giải

a) Từ \(\alpha  = a + ib,z = x + iy\)  \((a,b,x,y \in R)\) nên

\(\overline \alpha  z + \alpha \overline z  = k \Leftrightarrow ax + by = {k \over 2}\)

b) Chọn \(a = {1 \over 2},b = {1 \over 3}\) (tức  \(\alpha  = {1 \over 2} + {1 \over 3}i\)), k = 2 (không duy nhất).

Sachbaitap.com