Câu 4.8 trang 177 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho vectơ \(\vec u,\vec u'\) trong mặt phẳng  phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.

a) Chứng minh rằng tích vô hướng \(\vec u.\vec {u'}\) thỏa mãn

\(\vec u.\vec {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar {z'}} \right)\)

b)  Từ câu a) suy ra rằng nếu \(\bar u \ne 0\) thì \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \({{z'} \over z}\) là số ảo.

c) Chứng minh rằng \(\vec u,\vec {u'}\) vuông góc khi và chỉ khi \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\)

Giải

a) Viết \(z = x + yi,z' = x' + y'i\left( {x,y,x',y' \in R} \right)\) thì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = xx' + yy'\)  và  \(\bar zz' + z\bar{ z'} = \left( {x - yi} \right)\left( {x' + y'i} \right) + \left( {x + yi} \right)\left( {x' - y'i} \right) \)

                  \(= 2\left( {xx' + yy'} \right)\)

nên \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = {1 \over 2}\left( {\bar zz' + z\bar z'} \right)\)

b) \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 0 \Leftrightarrow \bar zz' + z\bar {z'} = 0\), chia cả hai vế cho \(z\bar z \ne 0,\) được

                                \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z} + {\bar {z'}  \over{\overline z } } = 0\)

                                \( \Leftrightarrow {{z'} \over z} + \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)}  = 0 \Leftrightarrow {{z'} \over z}\) là số ảo.

c) \(\left| {z + z'} \right| = \left| {z - z'} \right|\)

\(\Leftrightarrow \left( {z + z'} \right)\left( {\overline {z + z'} } \right) = \left( {z - z'} \right)\left( {\overline {z - z'} } \right)\)

\(\Leftrightarrow \bar zz' + z\bar{ z'} = 0,\)

nên câu a) nó tương đương với \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}= 0\) (Chú ý: khi \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}\) không cùng phương, tính chất cuối này tương đương với tính chất: hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật)

Sachbaitap.com