Câu 4.11 trang 178 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Cho số phức \(\alpha \). Chứng minh rằng với mọi số phức z, ta có

\(z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z = {\left| {z + \alpha } \right|^2} - \alpha \bar \alpha \)

b) Từ câu a) hãy xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn:

                               \(z\bar z + \bar \alpha z + \alpha \bar z + k = 0\)

Trong đó  \(\alpha \) là số phức cho trước, k là số thực cho trước.

Giải

a) \({\left| {z + \alpha } \right|^2} - \alpha \overline \alpha   = (z + a)\left( {\overline z  + \overline \alpha  } \right) - \alpha \overline \alpha  \)

\(= z\overline z  + \overline \alpha  z + \alpha \overline z \)

b) \(z\overline z  + \overline {\alpha }z  - \alpha \overline z  + k = 0 \Leftrightarrow {\left| {z +\alpha} \right|^2} = \alpha \overline \alpha   - k\).

Vậy khi \(\alpha \overline \alpha   - k = {R^2} > 0\), tập hợp cần tìm đường tròn có tâm là điểm biểu diễn số \( - \alpha \), có bán kính bằng R > 0 ; khi \(k = \alpha \overline \alpha  \), tập hợp cần tìm chỉ là một điểm ( biểu diễn số \( - \alpha \)) ; khi \(k > \alpha \overline \alpha  \), tập hợp cần tìm là tập rỗng .

Sachbaitap.com