Câu 53 trang 13 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) Số \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ;

b) Các số \(5\sqrt 2 \); \(5\sqrt 2 \) đều là số vô tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Giả sử \(\sqrt 3 \) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho \(\sqrt 3  = {a \over b}\) với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {{a \over b}} \right)^2}\) hay \({a^2} = 3{b^2}\) (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: \({\left( {3c} \right)^2} = 3{b^2}\) hay \({b^2} = 3{c^2}\)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ.

b) *Giả sử \(5\sqrt 2 \) là số hữu tỉ a, nghĩa là số số hữu tỉ x mà \(5\sqrt 2  = a.\)

Suy ra: \(\sqrt 2  = {a \over 5}\) hay \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Vậy \(5\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

*Giả sử \(3 + \sqrt 2 \) là số hữu tỉ b, nghĩa là số số hữu tỉ b mà:

\(3 + \sqrt 2  = b\)

Suy ra: \(\sqrt 2  = b - 3\) hay \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Vậy \(3 + \sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Sachbaitap.net