Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 63 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tính:

a) Góc giữa hai đường thẳng AC và SD;

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD;

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.

Trả lời

 

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua D, song song với AC và đường thẳng qua A, song song với BC thì AED và SED là hai tam giác vuông tại E, do đó \(\widehat {S{\rm{D}}E}\) là góc giữa SD và AC.

Đặt \(\widehat {S{\rm{D}}E} = \alpha \) thì

\(\tan \alpha  = {{SE} \over {E{\rm{D}}}} = {{\sqrt {{h^2} + {{{a^2}} \over 4}} } \over {{b \over 2}}}\)

hay \(\tan \alpha  = {{\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} } \over b}\)

b) Vì AC // (SDE) nên \(d\left( {AC;S{\rm{D}}} \right) = d\left( {A;\left( {S{\rm{D}}E} \right)} \right)\).

Do \(DE \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\) nên \(\left( {S{\rm{D}}E} \right) \bot \left( {SA{\rm{E}}} \right)\).

Vậy nếu kẻ đường cao AH của tam giác vuông SAE thì AH là khoảng cách giữa AC và SD.

Ta có \(AH = {{AS.AE} \over {SE}} = {{h.{a \over 2}} \over {{1 \over 2}\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }} = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}\)

Vậy khoảng cách giữa AC và SD là \(AH = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + 4{h^2}} }}\).

c) Gọi I là trung điểm của AC thì BC // (SDI).

Do đó \(d\left( {BC;S{\rm{D}}} \right) = d\left( {C;\left( {S{\rm{D}}I} \right)} \right)\)

Ta có \(DI \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(\left( {S{\rm{D}}I} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

Vậy khi kẻ đường cao CK của tam giác SIC thì CK là khoảng cách phải tìm.

Ta có \({S_{SIC}} = {{bh} \over 4},SI = {1 \over 2}\sqrt {4{h^2} + {b^2}} \)

nên \(CK = {{{{bh} \over 2}} \over {{1 \over 2}\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\)

hay \(CK = {{bh} \over {\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\)

Vậy khoảng cách giữac BC và SD bằng \({{bh} \over {\sqrt {4{h^2} + {b^2}} }}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài viết liên quan