Câu 76 trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 4a, R’ = a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 60⁰. Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai ròng rọc.

Giải

Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A nên O, O’, A thẳng hàng.

\(\widehat {OAM} = \widehat {OAP} = {1 \over 2}\widehat {MAP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {OAM} = {30^0}\)  

Trong tam giác vuông OMA có \(\widehat {OMA} = {90^0}\)

\( \Rightarrow MA = OM.\cot \widehat {OAM}\)

            \( = 4a\cos {30^0} = 4a\sqrt 3 \)

Trong tam giác vuông O’NA có\(\widehat {O'NA} = {90^0}\)

\( \Rightarrow NA = O'N\cot \widehat {O'AN} = a\cot {30^0} = a\sqrt 3 \)

\(MN = MA - NA = 4a\sqrt 3  - a\sqrt 3  = 3a\sqrt 3 \)

Trong tứ giác O’NAQ có \(\widehat N = \widehat Q = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)

Suy ra: \(\widehat {NO'Q} = {120^0}\)

Độ dài cung nhỏ \(\overparen{NQ}\) là: \({l_1} = {{\pi .a.120} \over {180}} = {{2\pi a} \over 3}\)

Trong tứ giác OMAP có \(\widehat M = \widehat P = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)

Suy ra: \(\widehat {MOP} = {120^0}\) nên số đo cung nhỏ \(\overparen{MP}\) bằng 120⁰

  sđ \(\overparen{MnP}\) \( = {360^0} - {120^0} = {240^0}\)

Độ dài cung lớn \(\overparen{MnP}\) là \({l_2}\) \( = {{\pi .4a.240} \over {180}} = {{16\pi a} \over 3}\)

Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:

\(2MN + {l_1} + {l_2} = 2.3a\sqrt 3  + {{2\pi a} \over 3} + {{16\pi a} \over 3}\)

                        \(=6a\sqrt 3  + 6\pi a = 6a\left( {\sqrt 3  + \pi } \right)\)

Sachbaitap.com