Câu 76 trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

76. Trang 65 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang \(\left( {AD//BC,\,AD > BC} \right).\) Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.

a) Chứng minh rằng:

\(MN//\left( {SBC} \right);\,\left( {MEN} \right)//\left( {SBC} \right).\)

b) Trong tam giác SAD vẽ EF//AD \(\left( {F \in SD} \right).\) Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng (MNE) với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNE) là hình gì?

c) Chứng minh rằng SC//(MNE). Đường thẳng AF có song song với mp(SBC) hay không?

d) Cho M, N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các cạnh AB, CD sao cho MN//AD và E, F là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho EF//AD. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I di động trên đường nào?

Giải

a) MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra:

\(\eqalign{
& \left. \matrix{
MN//BC \hfill \cr
BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow MN//\left( {SBC} \right) \cr
& \left. \matrix{
MN//\left( {SBC} \right) \hfill \cr
ME//\left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left( {MEN} \right)//\left( {SBC} \right) \cr} \)

b) Ta có 

\(\eqalign{
& EF//AD \Rightarrow EF//MN \cr
& \Rightarrow EF \subset \left( {MNE} \right) \Rightarrow F \in \left( {MNE} \right). \cr} \)

Mặt khác \(F \in SD,\) do đó \(F = \left( {MNE} \right) \cap SD.\)

Thiết diện là hình thang MNFE.

c) Theo câu a), ta có \(\left( {SBC} \right)//\left( {MNE} \right)\) mặt khác \(SC \subset \left( {SBC} \right)\)

Suy ra              SC // (MNE).

Đường thẳng AF không song song với mp(SBC) vì nếu AF // (SBC) thì :

\(AF \subset \left( {MNE} \right) \Rightarrow A \in \left( {MNE} \right)\) (vô lí).

d) Xét ba mặt phẳng (SAB), (SCD) và (MNE). Ta có:

\(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SJ\) (J là giao điểm của AB và CD)

\(\eqalign{
& \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNE} \right) = ME \cr
& \left( {SCD} \right) \cap \left( {MNE} \right) = NF \cr} \)

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SJ, ME, NF đồng quy. Vậy điểm I phải di động trên đường thẳng SJ (trừ những điểm trong của đoạn SJ).

sachbaitap.com