Câu 85 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), đường kính AB,  điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường  tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.

a)      Chứng minh rằng NE  ⊥ AB. 

b)      Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c)      Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B ;  BA).

Giải:

a) Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: AN ⊥ BM

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

Suy ra: AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác ABN 

Suy ra: NE ⊥ AB

b) Ta có: MA = MN ( tính chất đối xứng tâm)

                 ME = MF ( tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi điểm đường nên nó là hình bình hành.

Suy ra:    AF // NE

Mà          NE ⊥ AB ( chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A.

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = AN

Suy ra tam giác ABN cân tại B.

Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên  AE // FN hay FN // AC

Mặt khác: AC ⊥ BN ( chứng minh trên)

Suy ra: FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn ( B; BA).

Sachbaitap.com