Câu I.2 trang 123 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos \(\widehat {MAN}\)

Gợi ý làm bài

(h.bs.19). 

Kẻ đường cao MH của tam giác cân AMN. Ta có \(\sin \widehat {NAM} = {{HM} \over {AM}}\) và diện tích tam giác AMN là:

\(\eqalign{
& {S_{AMN}} = {1 \over 2}AN.MH = {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \cr
& = {1 \over 2}A{N^2}\sin \widehat {NAM} \cr} \)

\( = {1 \over 2}(A{D^2} + D{N^2})\sin \widehat {NAM} = {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& {S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADM}} - {S_{MNC}} \cr
& = 4{a^2} - 2{a^2} - {{{a^2}} \over 2} = {{3{a^2}} \over 2}. \cr} \)

Suy ra \(\sin \widehat {NAM} = {3 \over 5}\)

Từ đó: 

\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}  = \sqrt {1 - {9 \over {25}}}  = {4 \over 5}.\)

Sachbaitap.com