Giải SBT Toán 10 trang 100, 101 Chân trời sáng tạo tập 1

Bài 1 trang 100 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = AC = a\).

Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} \)

Lời giải:

Bài 2 trang 100 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho \(AD = 2a,AB = a\). Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO} \)     

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng \(\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}}  = \left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right)\)

Lời giải:

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính \(AB = 2R\). Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM  và BN cắt nhau tại I như hình 5.

a) Chứng minh:     \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} \)

b) Tính \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN} \) theo R

Lời giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AM} } \right)\\ = AI.AM.\cos 0^\circ  = AI.AM\end{array}\) (*)

Mặt khác \(AM = AB.\cos \widehat {MAB}\), thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = AI.AM = AI.AB.\cos \widehat {MAB}\\ = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \end{array}\) (đpcm)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BN} } \right)\\ = BI.BN.\cos 0^\circ  = BI.BN\end{array}\)    (**)

Mặt khác \(BN = BA.\cos \widehat {NBA}\), thay vào (**) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = BI.BN = BI.BA.\cos \widehat {NBA}\\ = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \end{array}\) (đpcm)

b) Từ kết quả của câu a) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {BI} } \right) = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2}\\ = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = 4{R^2}\)

Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tính công sinh ra bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn 60N kéo theo một vật di chuyển một vectơ \(\overrightarrow d \) có độ dài 200 m. Cho biết \(\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 60^\circ \)

Lời giải:

Ta có công thức tính công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow F \) là \(A = \overrightarrow F \overrightarrow d  = \left| {\overrightarrow F } \right|\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) \Rightarrow A = 60.200.\cos 60^\circ  = 6000\)

Vậy độ lớn công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow F \) là 6000 J

Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 và có tích vô hướng là 24. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}}  = \left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right)\\ \Rightarrow 24 = 6.8.\cos \left( {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right)\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right) = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right) = 60^\circ \)

Sachbaitap.com