Giải SBT Toán 10 trang 13, 14, 15 Chân trời sáng tạo tập 2

Bài 1 trang 13 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

\(x = 2\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

a) \({x^2} - 3x + 1 > 0\)

b) \( - 4{x^2} - 3x + 5 \le 0\)

c) \(2{x^2} - 5x + 2 \le 0\)

Lời giải:

a) Thay \(x = 2\) vào bất phương trình \({x^2} - 3x + 1 > 0\) ta có \({2^2} - 3.2 + 1 =  - 1 < 0\) nên \(x = 2\) không phải là nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 1 > 0\)

b) Thay \(x = 2\) vào bất phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 5 \le 0\) ta có \( - {4.2^2} - 3.2 + 5 =  - 17 < 0\), đúng  nên \(x = 2\)  là nghiệm của bất phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 5 \le 0\)

c) Thay \(x = 2\) vào bất phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 \le 0\) ta có \({2.2^2} - 5.2 + 2 = 0\), đúng  nên \(x = 2\)  là nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} - 5x + 2 \le 0\)

Bài 2 trang 13 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai đã cho, hãy nêu tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai tương ứng

Lời giải:

a) Phần đồ thị nằm trên trục hoành tương ứng với \(x \in \left( { - \frac{5}{2};1} \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) \ge 0\) khi và chỉ khi  \( - \frac{5}{2} \le x \le 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(\left[ { - \frac{5}{2};1} \right]\)

b) Dễ thấy toàn bộ đồ thị đều nằm phía trên trục hoành, do đó \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(\emptyset \)

c) Phần đồ thị nằm trên trục hoành tương ứng với \(x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left( {3;4} \right)\)

Do đó\(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x < 3\) hoặc \(x > 4\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\) là \(\left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

d) Dễ thấy đồ thị nằm phía dưới trục hoành và cắt trục hoành tại (-1;0)

Do đó \(f\left( x \right) < 0\) khi và chỉ khi \(x \ne  - 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

e) Dễ thấy đồ thị nằm phía trên trục hoành và cắt trục hoành tại \(\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \ne \frac{5}{2}\) và \(f(x) = 0\) tại \(x = \frac{5}{2}\)

Suy ra \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình  \(f\left( x \right) \le 0\) là \(\left\{ {\frac{5}{2}} \right\}\)

g) Phần đồ thị nằm trên trục hoành tương ứng với \(x \in \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right) \cup \left( {\frac{7}{2}; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) = 0\) khi và chỉ khi \(x = \frac{3}{2}\) hoặc \(x = \frac{7}{2}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) là \(\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{7}{2}; + \infty } \right)\)

Bài 3 trang 14 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \( - 9{x^2} + 16x + 4 \le 0\) 

b) \(6{x^2} - 13x - 33 < 0\)

c) \(7{x^2} - 36x + 5 \le 0\) 

d) \( - 9{x^2} + 6x - 1 \ge 0\)

e) \(49{x^2} + 56x + 16 > 0\) 

g) \( - 2{x^2} + 3x - 2 \le 0\)

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai \( - 9{x^2} + 16x + 4\) có \(a =  - 9 < 0\) và hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{2}{9}\) và \({x_2} = 2\), nên \( - 9{x^2} + 16x + 4 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \le  - \frac{2}{9}\) hoặc \(x \ge 2\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - \frac{2}{9}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

b) Tam thức bậc hai \(6{x^2} - 13x - 33\) có \(a = 6 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{3}{2}\) và \({x_2} = \frac{{11}}{3}\), nên \(6{x^2} - 13x - 33 < 0\) khi và chỉ khi  \( - \frac{3}{2} < x < \frac{{11}}{3}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{{11}}{3}} \right)\)

c)Tam thức bậc hai \(7{x^2} - 36x + 5\) có \(a = 7 > 0\) và hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{7}\) và \({x_2} = 5\), nên \(7{x^2} - 36x + 5 \le 0\) khi và chỉ khi \(\frac{1}{7} \le x \le 5\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left[ {\frac{1}{7};5} \right]\)

d) Tam thức bậc hai \( - 9{x^2} + 6x - 1\) có \(a =  - 9 < 0\) và có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{3}\), nên \( - 9{x^2} + 6x - 1 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình \( - 9{x^2} + 6x - 1 \ge 0\) có tập nghiệm là \(\left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\)

e) Tam thức bậc hai \(49{x^2} + 56x + 16\) có \(a = 49 > 0\) có nghiệm duy nhất \(x =  - \frac{4}{7}\), nên \(49{x^2} + 56x + 16 > 0\) với mọi \(x \ne  - \frac{4}{7}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{4}{7}} \right\}\)

g) Tam thức bậc hai \( - 2{x^2} + 3x - 2\) có \(a =  - 2 < 0\) và \(\Delta  =  - 7 < 0\) nên \( - 2{x^2} + 3x - 2 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Bài 4 trang 14 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \({x^2} - 3x < 4\)     

b) \(0 < 2{x^2} - 11x - 6\)

c) \( - 2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 4x + 30 \le 0\)   

d) \( - 3\left( {{x^2} - 4x - 1} \right) \le {x^2} - 8x + 28\)

e) \(2{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 3{x^2} + 6x + 27\)   

g) \(2{\left( {x + 1} \right)^2} + 9\left( { - x + 2} \right) < 0\)

Lời giải:

a) Ta có \({x^2} - 3x < 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \({x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1\) và \({x_2} = 4\), nên \({x^2} - 3x - 4 < 0\) khi và chỉ khi \( - 1 < x < 4\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - 1;4} \right)\)

b) Ta có \(0 < 2{x^2} - 11x - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x - 6 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \(2{x^2} - 11x - 6\) có \(a = 2 > 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} =  - \frac{1}{2}\) và \({x_2} = 6\), nên \(2{x^2} - 11x - 6 > 0\) khi và chỉ khi \(x <  - \frac{1}{2}\) hoặc \(x > 6\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)

c) Ta có \( - 2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 4x + 30 \le 0 \Leftrightarrow  - 8{x^2} - 20x + 12 \le 0\)

Xét tam thức bậc hai \( - 8{x^2} - 20x + 12\) có \(a =  - 8 < 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} =  - 3\) và \({x_2} = \frac{1}{2}\), nên \( - 8{x^2} - 20x + 12 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \le  - 3\) hoặc \(x \ge \frac{1}{2}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

d) Ta có \( - 3\left( {{x^2} - 4x - 1} \right) \le {x^2} - 8x + 28 \Leftrightarrow 4{x^2} - 20x + 25 \ge 0\)

Xét tam thức bậc hai \(4{x^2} - 20x + 25 \ge 0\) có \(a = 4 > 0\) và  nghiệm duy nhất là \(x = \frac{5}{2}\) nên \(4{x^2} - 20x + 25 \ge 0\)  với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

e) Ta có \(2{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 3{x^2} + 6x + 27 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 \le 0\)

Xét tam thức bậc hai \({x^2} + 10x + 25 \le 0\) có \(a = 1 > 0\) và  nghiệm duy nhất là \(x =  - 5\) nên \({x^2} + 10x + 25 \le 0\)  khi và chỉ  khi \(x =  - 5\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left\{ { - 5} \right\}\)

g) Ta có \(2{\left( {x + 1} \right)^2} + 9\left( { - x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 20 < 0\)

Xét tam thức bậc hai \(2{x^2} - 5x + 20\) có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta  =  - 135 < 0\) nên \(2{x^2} - 5x + 20\)  luôn lớn hơn không với mọi x

Vậy bất phương trình vô nghiệm

Bài 5 trang 14 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {15{x^2} + 8x - 12} \)         

b) \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt { - 11{x^2} + 30x - 16} }}\)

c) \(y = \frac{1}{{x - 2}} - \sqrt { - {x^2} + 5x - 6} \)   

d) \(y = \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }} - \sqrt {6{x^2} - 5x - 21} \)

Lời giải:

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(15{x^2} + 8x - 12 \ge 0\).

Tam thức \(15{x^2} + 8x - 12\) có \(a = 15 > 0\) và có hai nghiệm là \(x =  - \frac{6}{5}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Do đó \(15{x^2} + 8x - 12 \ge 0\) khi \(x \le  - \frac{6}{5}\) hoặc \(x \ge \frac{2}{3}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ; - \frac{6}{5}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\)

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi \( - 11{x^2} + 30x - 16 > 0\),

Tam thức \( - 11{x^2} + 30x - 16\) có \(a =  - 11 < 0\) và có hai nghiệm là \(x = \frac{8}{{11}}\) hoặc \(x = 2\).

Do đó \( - 11{x^2} + 30x - 16 > 0\) khi \(\frac{8}{{11}} < x < 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left( {\frac{8}{{11}};2} \right)\)

c) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\ - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\end{array} \right.\)

Tam thức \( - {x^2} + 5x - 6\) có \(a =  - 1 < 0\) và có hai nghiệm là \(x = 2\) hoặc \(x = 3\).

Do đó \( - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\) khi \(2 \le x \le 3\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\ - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\2 \le x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x \le 3\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left( {2;3} \right]\)

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 0\\6{x^2} - 5x - 21 \ge 0\end{array} \right.\)

Tam thức \(6{x^2} - 5x - 21\) có \(a = 6 > 0\) và có hai nghiệm là \(x =  - \frac{3}{2}\) hoặc \(x = \frac{7}{3}\).

Do đó \(6{x^2} - 5x - 21 \ge 0\) khi \(\left[ \begin{array}{l}x \le  - \frac{3}{2}\\x \ge \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 0\\6{x^2} - 5x - 21 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x \le  - \frac{3}{2}\\x \ge \frac{7}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{7}{3}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\left[ {\frac{7}{3}; + \infty } \right)\)

Bài 6 trang 14 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tìm giá trị của tham số m để:

a) \(x = 3\) là một nghiệm của bất phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2mx - 15 \le 0\)

b) \(x =  - 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(m{x^2} - 2x + 1 > 0\)

c) \(x = \frac{5}{2}\) là một nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} + 2mx - 5m \le 0\)

d) \(x =  - 2\) là một nghiệm của bất phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge 0\)

e) \(x = m + 1\) là một nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + 2mx - {m^2} - 2 < 0\)

Lời giải:

a) \(x = 3\) là nghiệm của bất phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2mx - 15 \le 0\) khi và chỉ khi:

\(\left( {{m^2} - 1} \right){.3^2} + 2m.3 - 15 \le 0 \Leftrightarrow 9{m^2} + 6m - 24 \le 0\)

Tam thức \(9{m^2} + 6m - 24\) có \(a = 9 > 0\) và hai nghiệm là \(m =  - 2\) và \(m = \frac{4}{3}\)

Do đó \(9{m^2} + 6m - 24 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le \frac{4}{3}\)

Vậy \(m \in \left[ { - 2;\frac{4}{3}} \right]\)

b) \(x =  - 1\) là nghiệm của bất phương trình \(m{x^2} - 2x + 1 > 0\) khi và chỉ khi:

\(m.{\left( { - 1} \right)^2} - 2.\left( { - 1} \right) + 1 > 0 \Leftrightarrow m + 3 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3\)

Vậy khi \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\)

c) \(x = \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} + 2mx - 5m \le 0\) khi và chỉ khi:

\(4.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2m.\left( {\frac{5}{2}} \right) - 5m \le 0 \Leftrightarrow 25 \le 0\) (vô lí)

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu

d) \(x =  - 2\) là nghiệm của bất phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge 0\) khi và chỉ khi:

\(\left( {2m - 3} \right).{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {{m^2} + 1} \right).\left( { - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2{m^2} + 8m - 10 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 5\\m \ge 1\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

e) \(x = m + 1\) là nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} + 2mx - {m^2} - 2 < 0\) khi và chỉ khi:

\(2.{\left( {m + 1} \right)^2} + 2m.\left( {m + 1} \right) - {m^2} - 2 < 0 \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 0\)

Vậy \(m \in \left( { - 2;0} \right)\)

Bài 7 trang 14 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Với giá trị nào của tham số m thì:

a) Phương trình \(4{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} = 0\) có nghiệm

b) Phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2mx - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình \(m{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 3m + 10 = 0\) vô nghiệm

d) Bất phương trình \(2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 4} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

e) Bất phương trình \( - 3{x^2} + 2mx + {m^2} \ge 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

a) Phương trình \(4{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\)

hay \({\left( {m - 2} \right)^2} - 4{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 3{m^2} - 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le \frac{2}{3}\)

Vậy \(m \in \left[ { - 2;\frac{2}{3}} \right]\)

b) Phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2mx - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\m + 1 \ne 0\end{array} \right.\), hay \({m^2} - \left( {m + 1} \right).\left( { - 4} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 > 0\) và \(m \ne  - 1\)

mà \({m^2} + 4m + 4 > 0\forall m \ne  - 2\)

Vậy với \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2; - 1} \right\}\)thì phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2mx - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

c) Phương trình \(m{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 3m + 10 = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\)

hay \({\left( {m + 1} \right)^2} - 4m\left( {3m + 10} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 11{m^2} - 38m + 1 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{{ - 19 - 2\sqrt {93} }}{{11}}\\x > \frac{{ - 19 + 2\sqrt {93} }}{{11}}\end{array} \right.\)

Vậy khi \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 19 - 2\sqrt {93} }}{{11}}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 19 + 2\sqrt {93} }}{{11}}; + \infty } \right)\) thì phương trình \(m{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 3m + 10 = 0\) vô nghiệm

d) Bất phương trình \(2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 4} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là R

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m - 4} \right) \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên để bất phương trình có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta  \le 0\)

hay \({\left( {m + 2} \right)^2} - 4.2\left( {2m - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 12m + 36 \le 0 \Leftrightarrow m = 6\)

Vậy \(m = 6\)

e) Bất phương trình \( - 3{x^2} + 2mx + {m^2} \ge 0\) có tập nghiệm là R

\( \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 2mx + {m^2} \ge 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3 > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\) (Vô lí)

Do đó bất phương trình không thể có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu

Bài 8 trang 14 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm thủ công của một cửa hàng là:

                        \(I\left( x \right) =  - 0,1{x^2} + 235x - 70000\)

Với I được tính bằng đơn vị nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?

Lời giải:

Ta biết cửa hàng có lãi khi và chỉ khi \(I\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow  - 0,1{x^2} + 235x - 70000 > 0\)

Xét tam thức bậc hai \( - 0,1{x^2} + 235x - 70000\) có \(a =  - 0,1 < 0\) và hai nghiệm là \(x = 350\) và \(x = 2000\)

Do đó  \( - 0,1{x^2} + 235x - 70000 > 0 \Leftrightarrow 350 < x < 2000\)

Vậy khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra từ 351 đến 1999 thì của hàng trên có lãi.

Bài 9 trang 15 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Một quả bóng được nắm thẳng lên từ độ cao \({h_{_0}}\)(m) với vận tốc \({v_0}\) (m/s). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t (s) được cho bởi hàm số

            \(h\left( t \right) =  - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}t + {h_0}\) với \(g = 10\) (m/s²) là gia tốc trọng tường

a) Tính \({h_{_0}}\) và \({v_0}\) biết độ cao của quả bóng sau 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m.

b) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4 m không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?

c) Cúng ném từ độ cao \({h_{_0}}\) như trên, nếu muốn độ cao của bóng sau 1 giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m thì vận tốc ném bóng \({v_0}\) cần là bao nhiêu?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Thay \(g = 10\) ta được \(h\left( t \right) =  - 5{t^2} + {v_0}t + {h_0}\)

Độ cao h của quả bóng tại thời điểm khi ném 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5 m ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4,75 =  - 5.{\left( {0,5} \right)^2} + {v_0}\left( {0,5} \right) + {h_0}\\5 =  - {5.1^2} + {v_0}.1 + {h_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,5{v_0} + {h_0} = 6\\{v_0} + h = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_0} = 8\\{h_0} = 2\end{array} \right.\)

 Vậy  \({h_{_0}}= 2 m\) và \({v_0}=8 m/s\), \(h\left( t \right) =  - 5{t^2} + 8t + 2\)

b) Bóng cao trên 4 m tương đương \(h\left( t \right) > 4 \Leftrightarrow  - 5{t^2} + 8t + 2 > 4\)

\( \Leftrightarrow  - 5{t^2} + 8t - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{4 - \sqrt 6 }}{5} < t < \frac{{4 + \sqrt 6 }}{5}\)

Khoảng thời gian bóng cao trên 4 m là: \(\frac{{4 + \sqrt 6 }}{5} - \frac{{4 - \sqrt 6 }}{5} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5} \approx 0,98\)

Vậy bóng đạt độ cao trên 4 m trong khoảng thời gian gần bằng 0,98 giây

c) Để quả bóng có độ cao sau 1 giây trong khoảng 2 m đến 3 m khi và chỉ khi \(2 < h\left( 1 \right) < 3 \Leftrightarrow 2 <  - {5.1^2} + {v_0} + 2 < 3 \Leftrightarrow 5 < {v_0} < 6\)

Vậy vận tốc ném ban đầu nằm trong khoảng 5m/s đến 6 m/s

Bài 10 trang 15 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Từ độ cao \({y_0}\) mét, một quả bóng được ném lên xiên một góc \(\alpha \) so với phương ngang với vạn tốc đầu \({v_0}\) có phương trình chuyển động

                        \(y = \frac{{ - g}}{{2{v_0}^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + \left( {\tan \alpha } \right)x + {y_0}\) với \(g = 10\) m/s²

a) Viết phương trình chuyển động của quả bóng nếu \(\alpha  = 30^\circ ,{y_0} = 2\) m và \({v_0} = 7\)m/s

b) Để ném được quả bóng qua bức tường cao 2,5 m thì người ném phải đứng cách tường bao xa?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm

Lời giải:

a) Thay \(\alpha  = 30^\circ ,{y_0} = 2\) m và \({v_0} = 7\)m/s vào phương trình chuyển động ta có :

                \(y = \frac{{ - 10}}{{{{2.7}^2}{{\cos }^2}30^\circ }}{x^2} + \left( {\tan 30^\circ } \right)x + 2 =  - \frac{{20}}{{147}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 2\)

b) Để ném quả bóng qua bước tường cao 2,5 mét thì \(y > 2,5 \Leftrightarrow  - \frac{{20}}{{147}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + 2 > 2,5 \Leftrightarrow  - \frac{{20}}{{147}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 0,5 > 0\)

Tam thức bậc hai \( - \frac{{20}}{{147}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 0,5\) có a

Do đó  \( - \frac{{20}}{{147}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 0,5 > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{{7\sqrt 3 }}{{10}};\frac{{7\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

\(\frac{{7\sqrt 3 }}{{10}} \approx 1,21;\frac{{7\sqrt 3 }}{4} \approx 3,03\)

Vậy người ném bóng cần đứng cách tường khoảng 1,21 m đến 3,03 m

Bài 11 trang 15 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Để tính diện tích hình chữ nhật lớn hơn hoặc bằng 15 cm² thì chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật (đơn vị: cm)

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là \(10 - x\)

Ta có \(0 < x \le 10 - x \Leftrightarrow 0 < x \le 5\) (1)

Diện tích hình chữ nhật là \(S = x\left( {10 - x} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(S = x\left( {10 - x} \right) \ge 15 \Leftrightarrow  - {x^2} + 10x - 15 \ge 0 \Leftrightarrow 5 - \sqrt {10}  \le x \le 5 + \sqrt {10} \) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: \(5 - \sqrt {10}  \le x \le 5\)

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng 1,84 cm đến 5 cm.

Bài 12 trang 15 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Thiết kế của một chiếc cổng có hình parabol với chiều cao 5 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m.

a) Chọn trục hoành là đường thẳng nối hai chân cổng, gốc tọa độ tại một chân cổng, chân cổng còn lại có hoành độ dương, đơn vị là 1 m. Hãy viết phương trình của vòm cổng.

b) Người ta cần chuyền một thùng hàng hình hộp chữ nhật với chiều cao 3 m. Chiều rộng của thùng hàng tối đa là bao nhiêu để thùng có thể chuyển lọt qua được cổng?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm

Lời giải:

a) Giả sử phương trình mô tả cổng có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\)

Từ cách đặt hệ trục ta có:

+) Gốc tọa độ tại chân cổng nên \(0 = a{.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 0\)

+) Chân cổng còn lại có hoành độ bằng khoảng cách 2 chân cổng là 4 m nên \(0 = a{.4^2} + b.4 + c \Leftrightarrow 16a + 4b + c = 0\)

+) Đỉnh cổng có tọa độ (2;5) nên \(5 = a{.2^2} + b.2 + c \Leftrightarrow 4a + 2b + c = 5\)

Giải hệ phương trình lập được từ ba phương trình trên ta được \(a =  - \frac{5}{4};b = 5;c = 0\)

Vậy phương trình vòm cổng là \(y =  - \frac{5}{4}{x^2} + 5x\)

b) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm các giá trị của x để \(y \ge 3\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{5}{4}{x^2} + 5x \ge 3 \Leftrightarrow  - \frac{5}{4}{x^2} + 5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{10 - 2\sqrt {10} }}{5}x \le \frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{5}\)

Suy ra chiều rộng tối đa mà thùng hàng có thể qua cổng là \(\frac{{10 + 2\sqrt {10} }}{5} - \frac{{10 - 2\sqrt {10} }}{5} = \frac{{4\sqrt {10} }}{5} \approx 2,53\)

Vậy chiều rộng tối ra của thùng hàng gần bằng 2,53 m

Sachbaitap.com