Giải SBT Toán 10 trang 94 Chân trời sáng tạo tập 1

Bài 1 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hình thoi ABCD và M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD. Chứng minh rằng:

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MN} \)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)       (với M là trung điểm của BC)

Lời giải:

Gọi O là tâm hình thoi. O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình thoi).

Bài 2 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} \)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} \) và phép trừ vectơ \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \)

Lời giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 \end{array}\) 

b) \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} ;\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} \end{array}\)

Bài 3 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} \)

Phương pháp:

          Bước 1: Xác định vectơ tổng và vectơ hiệu dựa vào các quy tắc cộng, trừ vectơ

          Bước 2: Xác định độ dài các cạnh dưới dấu vectơ đã tìm được ở bước 1

Lời giải:

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên AC = a.

Bài 4 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)     

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DB} \)

c) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)   

d) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của phép cộng, trừ vectơ và quy tắc ba điểm

Lời giải:

Bài 5 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết độ lớn của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là 100N và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tìm độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)

Phương pháp:

Điểm M dưới tác động của 3 lực nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0 \)

Và áp dụng các tính chất của phép cộng của vectơ, quy tắc hình bình hành

Lời giải:

Dựng hình bình hành MADB.

Gọi I là giao điểm của AB và MD. Khi đó I là trung điểm của AB và MD.

Bài 6 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Khi máy bay nghiêng cánh một góc \(\alpha \), lực \(\overrightarrow F \) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng \(\overrightarrow {{F_1}} \) và lực cản \(\overrightarrow {{F_2}} \) (hình 8). Cho biết \(\alpha  = 45^\circ \) và \(\left| {\overrightarrow F } \right| = a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\)

Lời giải:

Đặt tên các điểm trong hình vẽ, ta có:

Xét tam giác BOC vuông tại C, có:

Bài 7 trang 94 SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a. Cho 2 điểm M, N thỏa mãn:

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \)

Lời giải:

Áp dụng vào tính chất của trung điểm và trọng tâm của tam giác ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 \) suy ra M là trung điểm của AD

Từ đó ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {DA}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {DA} } \right| = \frac{1}{2}DA = \frac{a}{2}\)

\(\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \) suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Suy ra \(\overrightarrow {NO}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CO}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NO} } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {CO} } \right| = \frac{1}{3}CO\)

Ta tính được \(AC = BD = a\sqrt 2  \Rightarrow CO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {NO} } \right| = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

Vậy độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {NO} \) lần lượt là \(\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)

Sachbaitap.com