Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Cho biết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \({\rm{D}}\), \(AB = 2AD\).
a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(CM \bot \left( {SAB} \right)\).
Phương pháp:
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
AB // CD ⇒ AM // CD
AM = CD
⇒ AMCD là hình bình hành
Mà ⇒ AMCD là hình chữ nhật.
Bài 2 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) tại \(H\), lấy điểm \(S\). Chứng minh rằng:
a) \(AC \bot \left( {SHK} \right)\);
b) \(CK \bot \left( {SDH} \right)\).
Phương pháp:
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
Lời giải:
a) Xét tam giác ADB:
H là trung điểm AB
K là trung điểm AD
⇒ HK là đường trung bình của ΔADB.
Ta có:
b) Gọi I=CK ∩ DH
Xét ΔAHD và ΔDKC:
AH = DK
AD = CD
⇒ ΔAHD = ΔDKC (c.g.c)
⇒ DH ⊥ CK
Mà SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CK
Vậy CK ⊥ (SDH).
Bài 3 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), có các cạnh bên đều bằng \(2a\).
a) Tính góc giữa \(SC\) và \(AB\).
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Phương pháp:
a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):
Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.
Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).
Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).
b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.
Lời giải:
a) Ta có: AB // CD ⇒">⇒⇒ (SC, AB) = (SC, CD) =
Xét ΔSCD , áp dụng định lí cos, ta có :
b) Gọi O=AC∩BD">O = AC ∩ BD
Ta có:
ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)
ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)
Do đó O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Mà A, B ∈ (ABCD)
Vậy ΔOAB là hình chiếu vuông góc của ΔSAB lên (ABCD).
Ta có: AC =
Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.
Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là
Bài 4 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = 90^\circ ,\widehat {BSC} = {60^ \circ }\) và \(\widehat {ASC} = {120^ \circ }\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AC\). Chứng minh \(SI \bot \left( {ABC} \right)\).
Phương pháp:
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
Lời giải:
Tam giác SBC cân tại S (vì SB = SC = a ) có
Suy ra ΔSBC đều nên BC = a
Áp dụng định lí Pythagore vào ΔSAB vuông tại S , ta có :
Áp dụng định lí cos vào ΔSAC , ta có:
Ta có: AB2 + BC2 = AC2 nên ΔABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo) .
Lại có I là trung điểm AC nên
ΔSAC cân tại S mà I là trung điểm của AC nên SI ⊥ AC (1)
Ta có: SI2 + IB2 = SB2 nên ΔSBI vuông tại I (theo định lí Pythagore đảo) .
Suy ra SI ⊥ IB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABC)
Bài 5 trang 64 SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một cái lều có dạng hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \(AA'\)vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết \(AB = AC = 2,4m;BC = 2{\rm{ }}m;AA' = 3m\).
a) Tính góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\); \(A'B'\) và \(AC\).
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(ABB'\) trên mặt phẳng \(\left( {BB'C'C} \right)\).
Phương pháp:
a) Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\):
Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì.
Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\).
Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\).
b) Sử dụng phép chiếu vuông góc.
Lời giải:
a) + Vì AA′ // BB ′ nên (AA′, BC) = (BB′, BC) =
Ta có: AA ′ ⊥ (ABC), AA′ // BB ′ ⇒ BB ′ ⊥ (ABC) hay BB ′ ⊥ BC
+ Vì A′B′ // AB nên (A ′B′, AC) = (AB, AC) =
ΔABC có:
b) Kẻ AK ⊥ BC. Mà AA ′ ⊥ (ABC), AA ′ // BB′
⇒ BB ′ ⊥ (ABC)
⇒ BB ′ ⊥ AK (1)
Ta có: AK ⊥ BC; BC // B′C' ⇒ AK ⊥ B′C′ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AK ⊥ (BB′C′C)
⇒ K là hình chiếu vuông góc của A trên (BB ′ C ′ C)
Mà B, B ′ ∈ (BB ′ C ′ C)
Vậy ΔKBB ′ là hình chiếu vuông góc của ΔABB ′ lên (BB ′C′C ).
Ta có: ΔABC cân tại A có AK ⊥ BC K là trung điểm của BC
Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB′CC′ ) là
Sachbaitap.com
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục