Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Giải SGK Toán 11 trang 40, 41 Chân trời sáng tạo tập 1

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 1, 2 trang 40, bài 3, 4, 5, 6, 7 trang 41 SGK Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo tập 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

Bài 1 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

\(\begin{array}{l}a,\,\,sin2x = \;\frac{1}{2}\\b)\;sin(x - \frac{\pi }{7}) = sin\frac{{2\pi }}{7}\\c)\;sin4x - cos\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\end{array}\)

Phương pháp:

Phương trình sinx = m ,

  • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha  = m\),

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

a) Vì \(\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\) nên ta có phương trình \(sin2x = \sin \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\begin{array}{l}b,\,\,sin(x - \frac{\pi }{7}) = sin\frac{{2\pi }}{7}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{7} = \frac{{2\pi }}{7} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{7} = \pi  - \frac{{2\pi }}{7} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{7} + k2\pi \\x = \frac{{6\pi }}{7} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\;c)\;sin4x - cos\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow sin4x = cos\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow sin4x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow sin4x = \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{3} - x + k2\pi \\4x = \pi  - \frac{\pi }{3} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Bài 2 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

\(\begin{array}{l}a)\;\,cos(x + \frac{\pi }{3}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\b)\;\,cos4x = cos\frac{{5\pi }}{{12}}\\c)\;\,co{s^2}x = 1\end{array}\)

Phương pháp:

Phương trình \({\rm{cosx}} = m\),

  • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha  = m\). Khi đó:

\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau: 

\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}tanx = tan55^\circ ;\\b,\,\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array}\)

Phương pháp:

Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải:

a, Điều kiện xác định: \(x \ne 90^\circ  + k180^\circ \).

Ta có:\({\rm{ }}tanx = tan55^\circ  \Leftrightarrow x = 55^\circ  + k180^\circ ,{\rm{ }}k\; \in \;\mathbb{Z}\,\,(TM).\)

b, Điều kiện xác định: \(2x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{4} = k\pi  \Leftrightarrow x = -\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\,\,(TM).\)

Bài 4 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình lượng giác sau:

\(\begin{array}{l}a)\;cot\left( {\frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\b)\;cot3x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Phương pháp:

Phương trình \(\cot x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\cot \alpha  = m\). Khi đó:

\(\cot {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải:

Bài 5 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\sin x = cos\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) và giải phương trình côsin

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau tại điểm x thoả mãn

\(cosx = sinx \Leftrightarrow cosx = cos\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy  \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Bài 6 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10sin\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right).\)Vào các thời điểm nào thì \(s =  - 5\sqrt 3 \;\)cm?

Phương pháp:

Phương trình sinx = m ,

  • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thoả mãn \(\sin \alpha  = m\),

\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải:

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

 Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\frac{\pi }{{10}}\)rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

 

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) của điệm M trên trục Oy theo thời gian t

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ \({y_N} =  - 1\;\left( {km} \right).\)Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Phương pháp:

a, Dựa vào đề bài để viết hàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) .

b, Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha  = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải:

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: \(\alpha  = \frac{\pi }{{10}}t\) rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

\(MO = tan\alpha .1 = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\).

Vậy tọa độ \({y_M} = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\).

b) Xét  \(\tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}}t =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Vì \(t \ge 0\) nên tại các thời điểm \(t =  - \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z},k \ge 1\) thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan