Giải SGK Toán 11 trang 61, 62 Chân trời sáng tạo tập 1

Câu Hỏi Trắc Nghiệm

Bài 1 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là:

A. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{27}}\).          

B. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}\).       

C. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{25}}\).               

D. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{28}}\).

Phương pháp:

Lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3\) vào biểu thức \({u_n}\).

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{{{3^1} - 1}} = \frac{1}{2}\\{u_2} = \frac{2}{{{3^2} - 1}} = \frac{1}{4}\\{u_3} = \frac{3}{{{3^3} - 1}} = \frac{3}{{26}}\end{array}\)

Chọn B.

Bài 2 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho dãy số: \(\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}};...\). Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).    

B. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\).    

C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\).        

D. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\).

Phương pháp:

Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải:

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.                     

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.             

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Phương pháp:

• Xét tính tăng giảm của dãy số:

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

• Xét tính bị chặn của dãy số ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải:

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Chọn A.

Bài 4 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\). Khi đó, với \(n \ge 2\) ta có

A. \({u_n} = {u_1} + d\).

B. \({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\).         

C. \({u_n} = {u_1} - \left( {n - 1} \right)d\)

D. \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Cấp số cộng (u­_n) có số hạng đầu u₁, công sai d có số hạng tổng quát là:

u_n = u₁ + (n – 1)d, với n ≥ 2.

Bài 5 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 3\) và \({u_2} =  - 1\). Khi đó

A. \({u_3} = 4\).          

B. \({u_3} = 2\).          

C. \({u_3} =  - 5\).        

D. \({u_3} = 7\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

Lời giải:

Ta có: \({u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow  - 1 = 3 + d \Leftrightarrow d =  - 4\)

\({u_3} = {u_1} + 2{\rm{d}} = 3 + 2.\left( { - 4} \right) =  - 5\).

Chọn C.

Bài 6 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} =  - 1\) và công sai \(d = 3\). Khi đó \({S_5}\) bằng

A. 11.                     

B. 50.                     

C. 10.                      

D. 25.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải:

Bài 7 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Có bao nhiêu số thực \(x\) để \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. 1.                       

B. 2.                       

C. 3.                        

D. 4.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của cấp số nhân: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(u_n^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}}\) với \(n \ge 2\).

Lời giải:

\(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi:

\({x^2} = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} = 4{{\rm{x}}^2} - 1 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Vậy có 2 số thực \(x\) thoả mãn \(2x - 1;x;2x + 1\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Chọn B.

Bài 8 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội \(q = 2\). Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là:

A. \(\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\).      

B. \(\frac{\pi }{5};\frac{{2\pi }}{5};\frac{{4\pi }}{5}\).     

C. \(\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{6};\frac{{4\pi }}{6}\).    

D. \(\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải:

Giả sử số đo ba góc của tam giác lần lượt là \({u_1};{u_1}.2 = 2{u_1};{u_1}{.2^2} = 4{u_1}\left( {{u_1} > 0} \right)\).

Tổng số đo ba góc của một tam giác bằng \(\pi \) nên ta có phương trình:

\({u_1} + 2{u_1} + 4{u_1} = \pi  \Leftrightarrow 7{u_1} = \pi  \Leftrightarrow {u_1} = \frac{\pi }{7}\)

Vậy số đo các góc của tam giác đó lần lượt là: \(\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}\).

Chọn D.

Bài Tập Tự Luận

Bài 9 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}\).

Phương pháp:

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải:

Bài 10 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\).

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải:

Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 3}}{{n + 2}} = 2 - \frac{3}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 2}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le \frac{3}{3} \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le 1 \Leftrightarrow 2 - \frac{3}{{n + 2}} \ge 2 - 1 \Leftrightarrow {u_n} \ge 1\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Bài 11 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right.\);       

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right.\).

Phương pháp:

Sử dụng các công thức:

‒ Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

‒ Công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) là: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Sau đó đưa về giải hệ phương trình.

Lời giải:

a)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 8\) và công sai \(d =  - 3\).

b)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0\).

Với \(d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} =  - 12\).

Vậy có hai cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 0\) và công sai \(d = 3\).

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} =  - 12\) và công sai \(d = \frac{{21}}{5}\).

Bài 12 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right.\);        

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\).

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải:

Bài 13 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là 12%/năm, xuất cư là 2%/năm, tử vong là 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.

Phương pháp:

‒ Biến đổi, đưa \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\), khi đó dãy số là cấp số nhân có công bội \(q\).

‒ Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải:

Mỗi năm số cá thể của quần thể này tăng: \(12\%  - 2\%  - 8\%  = 2\% \).

Giả sử số cá thể của quần thể đó là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 110000\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 110000\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{2}{{100}} = {u_1}.1,02\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{2}{{100}} = {u_2}.1,02\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{2}{{100}} = {u_3}.1,02\\ \vdots \\{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}}.\frac{2}{{100}} = {u_{n - 1}}.1,02\end{array}\)

Vậy số cá thể của quần thể đó tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 110000\) và công bội \(q = 1,02\).

Số cá thể của quần thể đó sau hai năm là: \({u_3} = {u_1}.{q^2} = 110000.1,{02^2} = 114444\) (cá thể).

Bài 14 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số phím La Trung là 400 Hz và tần số của phím La Cao cao hơn 12 phím là 800 Hz (nguồn: https:// vi.wikipedia.org/wiki/Organ). Tìm công bội của cấp số nhân nói trên (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải:

Bài 15 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giám thống kê năm 2020). Nếu trung bình mỗi năm tăng 1,14% thì ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)?

Phương pháp:

‒ Biến đổi, đưa \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\), khi đó dãy số là cấp số nhân có công bội \(q\).

‒ Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\).

Lời giải:

Giả sử dân số Việt Nam từ năm 2020 là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 97,6\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 97,6\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_{n - 1}}\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\end{array}\)

Vậy dân số Việt Nam từ năm 2020 tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 97,6\) và công bội \(q = 1 + \frac{{1,14}}{{100}}\).

Dân số Việt Nam vào năm 2040 là: \({u_{21}} = {u_1}.{q^{20}} = 97,6.{\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)^{20}} \approx 122,4\) (triệu người).

Sachbaitap.com