Giải SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo trang 65, 66

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho điểm M thoả mãn \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \). Toạ độ của điểm M là 

A. M(0; 2; 1).

B. M(1; 2; 0).

C. M(2; 0; 1).

D. M(2; 1; 0).

Phương pháp:

\(\overrightarrow {OA}  = (a;b;c) \Rightarrow A(a;b;c)\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D 

Bài 2 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm A(–1; 2; –3) và B(2; –1; 0). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là

A. \(\overrightarrow {AB} \)­­ = (1; –1; 1).

B. \(\overrightarrow {AB} \)= (3; 3; –3).

C. \(\overrightarrow {AB} \)= (1; 1; –3).

D. \(\overrightarrow {AB} \)= (3; –3; 3).

Phương pháp:

Cho 2 điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có \(\overrightarrow {AB}  = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D 

Bài 3 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm A(3; –2; 3) và B(–1; 2; 5). Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

A. I(–2; 2; 1). 

B. I(1; 0; 4). 

C. I(2; 0; 8).

D. I(2; –2; –1)

Phương pháp:

Cho 2 điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có \(M(\frac{{{a_1} + {b_1}}}{2};\frac{{{a_2} + {b_2}}}{2};\frac{{{a_3} + {b_3}}}{2})\) là trung điểm của AB

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm I là 

Bài 4 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho ba điểm A(1; 3; 5), B(2; 0; 1), C(0; 9; 0). Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. G(3; 12; 6).

B. G(1; 5; 2).

C. G(1; 0; 5).

D. G(1; 4; 2).

Phương pháp:

Cho tam giác ABC có \(A({a_1};{a_2};{a_3})\), \(B({b_1};{b_2};{b_3})\), \(C({c_1};{c_2};{c_3})\), ta có \(G(\frac{{{a_1} + {b_1} + {c_1}}}{3};\frac{{{a_2} + {b_2} + {c_2}}}{3};\frac{{{a_3} + {b_3} + {c_3}}}{3})\) là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ trung điểm G là 

Bài 5 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho A(1; 2; –1), B(2; 1; –3), C(–3; 5; 1). Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành có toạ độ là

A. D(–4; 6; 3).

B. D(–2; 2; 5).

C. D(–2; 8; –3).

D. D(–4; 6; –5)

Phương pháp:

Chứng minh ABCD có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

ABCD là hình bình hành 

Vậy D(−4; 6; 3).

Bài 6 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Gọi a là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u  = (0; - 1;0)\) và \(\overrightarrow v  = (\sqrt 3 ;1;0)\). Giá trị của \(\alpha \) là

A. \(\alpha  = \frac{\pi }{6}\).

B. \(\alpha  = \frac{\pi }{3}\).

C. \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\).

D. \(\alpha  = \frac{\pi }{2}\).

Phương pháp:

Ta có: \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: C 

Bài 7 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho A(2; –1; 1), B(–1; 3; –1), C(5; –3; 4). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) có giá trị là

A. 48.

B. –48.

C. 52.

D. –52.

Phương pháp:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: D 

Bài 8 trang 66 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm A(–1; 2; 3), B = (1; 0; 2). Toạ độ điểm M thoả mãn \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {MA} \) là

A. \(M( - 2;3;\frac{7}{2})\)

B. \(M( - 2; - 3;\frac{7}{2})\)

C. \(M( - 2;3;7)\).

D. \(M( - 4;6;7)\).

Phương pháp:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_2} = k{b_2}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử M(x; y; z). 

B. TỰ LUẬN

Bài 9 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O′A′B′C′ như Hình 1, biết B′(2; 3; 5).

a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

b) Tính độ dài đường chéo OB′ của hình hộp chữ nhật đó.

Phương pháp:

a) Quan sát hình vẽ, mỗi cạnh của ô vuông sẽ tương ứng với 1 đơn vị

b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

Lời giải:

a) Dựa vào Hình 1 ta có:

O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), C(0; 3; 0),

O'(0; 0; 5), A'(2; 0; 5), B'(2; 3; 5), C'(0; 3; 5). 

Bài 10 trang 65 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Tìm toạ độ của điểm P được biểu diễn trong Hình 2 và tính khoảng cách OP.

Phương pháp:

Quan sát hình vẽ và xem hình chiếu của P lên các mặt phẳng có tọa độ là bao nhiêu => tọa độ của P. Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

Lời giải:

Ta có P(2; 3; 3). 

Bài 11 trang 66 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho \(\overrightarrow u  = (2; - 5;3),\overrightarrow v  = (0;2; - 1),\overrightarrow w  = (1;7;2)\). Tìm toạ độ của vectơ \(\overrightarrow a  = \overrightarrow u  - 4\overrightarrow v  - 2\overrightarrow w \).

Phương pháp:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3})\)

Lời giải:

Bài 12 trang 66 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho ba điểm A(0; 1; 2), B(1; 2; 3), C(1; –2; –5). Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MB = 3MC. Tính độ dài đoạn thẳng AM

Phương pháp:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_2} = k{b_2}\end{array} \right.\). Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

Lời giải:

Bài 13 trang 66 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) tạo với nhau góc \(60^\circ \). Biết rằng \(|\overrightarrow u | = 2\) và \(|\overrightarrow v | = 4\). Tính \(|\overrightarrow u  + \overrightarrow v |\)

Phương pháp:

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), ta có \({(|\overrightarrow u  + \overrightarrow v |)^2} = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\overrightarrow v  + {\overrightarrow v ^2}\) và \({\overrightarrow u ^2} = \overrightarrow u .\overrightarrow u  = |\overrightarrow u |.|\overrightarrow u |.\cos (\overrightarrow u ,\overrightarrow u ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

Lời giải:

Bài 14 trang 66 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; –2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc toạ độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Phương pháp:

a) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\). Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

b) \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}|\overrightarrow {AH} |.|\overrightarrow {OB} |\)

Lời giải:

Bài 15 trang 66 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc \(\overrightarrow a  = (300;200;400)\)(đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm toạ độ vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \) của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Phương pháp:

a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_2} = k{b_2}\end{array} \right.\)

b) Công thức tính độ lớn vecto: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \)

Lời giải:

Bài 16 trang 39 SGK Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó.

Một phân tử metan CH4 được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.

Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng \(109,5^\circ \)

Phương pháp:

Dựng một hệ trục tọa độ theo đề và dùng công thức tích vô hướng giữa 2 vecto để tìm góc liên kết

Lời giải:

Sachbaitap.com