Bài 102 trang 121 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho ba điểm \(A(0 ; a), B(b ; 0), C(c ; 0)\) (\(a, b, c\) là ba số khác \(0\) và \(b \ne c\)). Đường thẳng \(y=m\) cắt các đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\) lần lượt ở \(M\) và \(N.\)

a) Tìm tọa độ của \(M\) và \(N.\)

b) Gọi \(N’\) là hình chiếu (vuông góc) của \(N\) trên \(Ox\) và \(I\) là trung điểm của \(MN’\). Tìm tập hợp các điểm \(I\) khi \(m\) thay đổi.

Giải

(h.129).

a) Phương  trình đường thẳng \(AB:\)

\( \dfrac{x}{b} +  \dfrac{y}{a} = 1\).

Phương trình đường thẳng \(AC:\)

\( \dfrac{x}{c} +  \dfrac{y}{a} = 1\).

Toạ độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{b} +  \dfrac{y}{a} = 1\\y = m\end{array} \right.     \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = b -  \dfrac{b}{a}m\\y = m\end{array} \right.\) hay \(M = \left( {b -  \dfrac{b}{a}m ; m} \right)\).

Tọa độ của điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{c} +  \dfrac{y}{a} = 1\\y = m\end{array} \right.     \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = c -  \dfrac{c}{a}m\\y = m\end{array} \right.\) hay \(N = \left( {c -  \dfrac{c}{a}m ; m} \right)\).

b) N’ có tọa độ \(\left( {c -  \dfrac{c}{a}m ; 0} \right)\). Giả sử \(I = ({x_0} ; {y_0})\), khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  \dfrac{{b + c}}{2} -  \dfrac{{b + c}}{{2a}}m\\{y_0} =  \dfrac{m}{2}.\end{array} \right.                                                  (1)\)

(1) chứng tỏ \(I\) thuộc đường thẳng có phương trình tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{{b + c}}{2} -  \dfrac{{b + c}}{{2a}}m\\y =  \dfrac{m}{2}\end{array} \right.\)    với m là tham số           (2)

Vì các giao điểm \(M\) và \(N\) chỉ tồn tại khi \(0 \le m \le a\) nếu \(a \ge 0\), hoặc \(0 \ge m \ge a\) nếu \(a<0,\) nên tập hợp các điểm \(I\) là một đoạn thẳng thuộc đường thẳng (2) ứng với \(m\) nằm trong đoạn \([0 ; a]\) nếu \(a \ge 0\), hoặc \([a ; 0]\) nếu \(a<0.\)

Sachbaitap.com