Bài 1.12 trang 22 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d có phương trình \(3x - y + 9 = 0\) và đường tròn (C) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 6 = 0\) 

Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua

a)  Phép đối xứng qua gốc tọa độ;

b)  Phép đối xứng qua tâm I.

Giải:

a)  Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :

\(M' = \left( {2; - 3} \right)\), phương trình của \(d':3{\rm{x}} - y - 9 = 0\), phương trình của đường tròn \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} - 2{\rm{x}} + 6y + 6 = 0\)

b)  Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .

Vì I là trung điểm của MM' nên \(M' = \left( {4;1} \right)\)

Vì d' song song với d nên d' có phương trình \(3{\rm{x}} - y + C = 0\). Lấy một điểm trên d, chẳng hạn \(N\left( {0;9} \right)\). Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là \(N'\left( {2; - 5} \right)\). Vì N' thuộc d nên ta có \(3.2 - \left( { - 5} \right) + C = 0\). Từ đó suy ra C = -11.

Vậy phương trình của d' là \(3{\rm{x}} - y - 11 = 0\).

Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm \(J\left( { - 1;3} \right)\), bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là \(J'\left( {3;1} \right)\). Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\).