Bài 1.14 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha \) với \(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \). Tìm giới hạn của \(\left( {{b_n}} \right)\)

Giải:

Dãy số: \(\sin \alpha ,...,{\sin ^n}\alpha ,...\) với \(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \), là một cấp số nhân vô hạn, công bội \(q = \sin \alpha \)

Vì \(\left| {\sin \alpha } \right| < 1\) với \(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi \) nên \(\left( {{{\sin }^n}\alpha } \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Hơn nữa, \({b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha  = {S_n}\)

Do đó, \(\lim {b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha  + ... = {{\sin \alpha } \over {1 - \sin \alpha }}\)