Bài 1.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;1} \right)\) cho, đường thẳng d có phương trình \(2x - 3y + 3 = 0\) , đường thẳng d₁ có phương trình \(2x - 3y - 5 = 0\).

a)  Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

b)  Tìm tọa độ của \(\overrightarrow w \) có giá vuông góc với đường thẳng d để d₁ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow w }}\).

Giải:

a)  Lấy một điểm thuộc d ,chẳng hạn \(M = \left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(M' = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = \left( {0 - 2;1 + 1} \right) = \left( { - 2;2} \right)\) thuộc d'. Vì d' song song với d nên phương trình của nó có dạng \(2x - 3y + C = 0\). Do \(M' \in d'\) nên \(2.\left( { - 2} \right) - 3.2 + C = 0\) . Từ đó suy ra C = 10 . Do đó d' có phương trình \(2x - 3y + 10 = 0\) .

b)  Lấy một điểm thuộc d ,chẳng hạn \(M = \left( {0;1} \right)\). Đường thẳng \({d_2}\) qua M vuông góc với  có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v  = \left( {2; - 3} \right)\). Do đó phương trình của \({d_2}\) là \({{x - 0} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}}\). Gọi M' là giao của \({d_1}\) với \({d_2}\) thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
2x - 3y - 5 = 0 \hfill \cr
3x + 2y - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = {{16} \over {13}} \hfill \cr
y = - {{11} \over {13}} \hfill \cr} \right.\)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow w  = \overrightarrow {MM'}  = \left( {{{16} \over {13}}; - {{24} \over {13}}} \right)\).