Bài 1.23 trang 35 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(2x + y - 4 = 0\).

a)  Hãy viết phương trình của đường thẳng d₁  là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3

b) Hãy viết phương trình của đường thẳng d₂ là ảnh của d qua phép vị tự tâm I(-1; 2) tỉ số k = -2

Giải:

a)  Lấy hai điểm \(A\left( {0;4} \right)\) và \(B\left( {2;0} \right)\) thuộc d. Gọi \(A',B'\) theo thứ tự là ảnh của A và B qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. Khi đó ta có

\(\overrightarrow {OA'}  = 3\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB'}  = 3\overrightarrow {OB} \).

Vì \(\overrightarrow {OA}  = \left( {0;4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OA'}  = \left( {0;12} \right)\). Do đó \(A' = \left( {0;12} \right)\). Tương tự \(B' = \left( {6;0} \right)\); \(d_1\) chính là đường thẳng A'B' nên nó có phương trình

\({{x - 6} \over { - 6}} = {y \over {12}}\) hay \(2{\rm{x}} + y - 12 = 0\).

b)  Có thể giải tương tự như câu a) . Sau đây ta sẽ giải bằng cách khác.

Vì \({d_2}\parallel d\) nên phương trình của \(d_2\) có dạng \(2{\rm{x}} + y + C = 0\): . Gọi \(A' = \left( {x';y'} \right)\) là ảnh của A qua phép vị tự đó thì ta có:

\(\overrightarrow {IA'}  =  - 2\overrightarrow {IA} \) hay \(x' + 1 =  - 2,y' - 2 =  - 4\)

Suy ra \(x' =  - 3,y' =  - 2\)

Do A' thuộc \(d_2\) nên \(2.\left( { - 3} \right) - 2 + C = 0\). Từ đó suy ra C = 8

Phương trình của \(d_2\) là \(2{\rm{x}} + y + 8 = 0\)