Bài 1.30 trang 39 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.

a)  Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi

b)  Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a) .

Giải:

a) Dựng hình bình hành ADCE. Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {A{\rm{E}}}\) không đổi.

Do AE = b không đổi, nên E cố định. Do \(A{\rm{D}} = EC = a\) nên khi D chạy trên đường tròn \(\left( {A;a} \right)\) thì C chạy trên đường tròn \(\left( {E;a} \right)\) là ảnh của \(\left( {A;a} \right)\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {A{\rm{E}}} \).

b) Đường thẳng qua I, song song với AD cắt AE tại F.

Ta có 

\(\eqalign{
& {{AI} \over {IC}} = {{AB} \over {C{\rm{D}}}} \cr
& \Rightarrow {{AI} \over {AI + IC}} = {{AB} \over {AB + b}} \cr
& \Rightarrow {{AI} \over {IC}} = {{AB} \over {AB + b}} \cr
& \overrightarrow {AI} = {{AB} \over {AB + b}}\overrightarrow {AC} \cr} \) 

Do đó có thể xem I là ảnh của C qua phép vị tự tâm A, tỉ số \({{AB} \over {AB + b}}\). Vậy khi C chạy trên (E;a) thì I chạy trên đường tròn là ảnh của (E;a) qua phép vị tự nói trên.