Bài 1.38 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số : \(y = {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình  x³ – 6x² + m = 0  có 3 nghiệm thực phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định: D = R; \(y' = {3 \over 4}{x^2} - 3x\)     

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(4; + \infty )\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đật cực đại tại x = 0, y_CĐ = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, y_CT = -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6; 5).

b)  

\(\eqalign{
& {x^3} - 6{x^2} + m = 0 \cr 
& \Leftrightarrow  {x^3} - 6{x^2} = - m \cr} \)             (1)

\( \Leftrightarrow  {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5 = 5 - {m \over 4}\)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C) và đường thẳng (d): \(y = 5 - {m \over 4}\)

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi: \( - 3 < 5 - {m \over 4} < 5 \Leftrightarrow  0 < m < 32\)

Sachbaitap.com