Bài 1.39 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: \(y =  - {x^3} + 3x + 1\)

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàm số: \(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y =  - {x \over 9} + 1\)

Hướng dẫn làm bài:

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C₁) của hàm số.

\(y = f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1\) hay  \(f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3x + 4\) (C1)

Lấy đối xứng  (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

c) Ta có:  \({(x + 1)^3} = 3x + m\)  (1)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

\(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)  (C’)  và y = m – 4          (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

+) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

+) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng \(y =  - {x \over 9} + 1\)  nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: \(g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3\)

\(g'(x) = 9 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\)  

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

           \(y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8\);

           \(y + 3 = 9(x  + 3) ⇔ y = 9x + 24.\)

Sachbaitap.com