Bài 1.40 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AB}  = p\overrightarrow {AC} \) thì \(\overrightarrow {A'B'}  = p\overrightarrow {A'C'} \), trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A’ và C’.

Giải:

Để ý rằng

\(\eqalign{
& A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} \cr
& = {k^2}A{B^2},\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'} \cr
& = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)

Ta có:

\({\left( {\overrightarrow {A'B'}  - p\overrightarrow {A'C'} } \right)^2} = A'B{'^2} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'}  + {p^2}A'C{'^2}\)

\(\eqalign{
& = {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + {p^2}A{C^2}} \right) \cr
& = {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB} - p\overleftarrow {AC} } \right)^2} = 0 \cr} \)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  - p\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow 0 \)

Giả sử ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = t\overrightarrow {AC} \), với \(0 < t < 1\). Áp dụng bài 1.39 ta cũng có \(\overrightarrow {A'B}  = t\overrightarrow {A'C'} \), với \(0 < t < 1\). Do đó ba điểm \(A',B',C'\) thẳng hàng và điểm B' nằm giữa hai điểm A' và C'.

Sachbaitap.com