Bài 1.48 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  \(y = {{4 - x} \over {2x + 3m}}\)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số.

b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị (C_m) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B( - {7 \over 4}; - {1 \over 2})\) .

c) Biện luận theo m số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

d) Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = |{{4 - x} \over {2x + 3}}|\)

Hướng dẫn làm bài:

Xét hàm số \(y = {{4 - x} \over {2x + 3m}}\)

a) TXĐ: \(R\backslash {\rm{\{ }} - {{3m} \over 2}{\rm{\} }}\)

      \(y' = {{ - 2x - 3m - 2(4 - x)} \over {{{(2x + 3m)}^2}}} = {{ - 3m - 8} \over {{{(2x + 3m)}^2}}}\)   

+) Nếu \(m <  - {8 \over 3},y' > 0\)  suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - {{3m} \over 2}),( - {{3m} \over 2}; + \infty )\)

+) Nếu \(m >  - {8 \over 3},y' < 0\) suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ; - {{3m} \over 2}),( - {{3m} \over 2}; + \infty )\)

+) Nếu \(m =  - {8 \over 3}\)  thì  \(y =  - {1 \over 2}\) khi \(x \ne 4\)

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{4 - x} \over {2x + 3m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{{4 \over x} - 1} \over {2 + {{3m} \over x}}} =  - {1 \over 2}\)

nên với mọi m, đường thẳng  \(y =  - {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang và đi qua \(B( - {7 \over 4}; - {1 \over 2})\) .

c) Số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình \({{4 - x} \over {2x + 3m}} = x\)

Ta có: \({{4 - x} \over {2x + 3m}} = x \Leftrightarrow  4 - x = 2{x^2} + 3mx\) với \(x \ne  - {{3m} \over 2}\)

\( \Leftrightarrow  2{x^2} + (3m + 1)x - 4 = 0\) với \(x \ne  - {{3m} \over 2}\)

+) Thay \(x =  - {{3m} \over 2}\) vào (*) , ta có:

\(\eqalign{
& 2.{( - {{3m} \over 2})^2} - {{9{m^2}} \over 2} - {{3m} \over 2} - 4\cr&= {{9{m^2}} \over 2} - {{9{m^2}} \over 2} - {{3m} \over 2} - 4 \ne 0 \cr & = > m \ne - {8 \over 3} \cr} \) 

Như vậy, để \(x =  - {{3m} \over 2}\) không là nghiệm của phương trình  (*), ta phải có \(m \ne  - {8 \over 3}\) .

Ta có: \(\Delta  = {(3m + 1)^2} + 32 > 0,\forall m\) . Từ đó suy ra với \(m \ne  - {8 \over 3}\) đường thẳng y = x luôn cắt (C_m) tại hai điểm phân biệt.

d) Ta có: 

\(\eqalign{
& y = |{{4 - x} \over {2x + 3}}| \cr
& = \left\{ \matrix{
{{4 - x} \over {2x + 3}},{{4 - x} \over {2x + 3}} \ge 0 \hfill \cr
- {{4 - x} \over {2x + 3}},{{4 - x} \over {2x + 3}} < 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Trước hết, ta vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{4 - x} \over {2x + 3}}\) . TXĐ: \(D = R\backslash {\rm{\{ }} - {3 \over 2}{\rm{\} }}\) .

Vì \(y' = {{ - 11} \over {{{(2x + 3)}^2}}} < 0\)  với mọi  nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ; - {3 \over 2});( - {3 \over 2}; + \infty )\).

Bảng biến thiên:

Tiệm cận đứng \(x =  - {3 \over 2}\)

Tiệm cận ngang \(y =  - {1 \over 2}\)

Đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left( { - 2;{\rm{ }} - 6} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;{\rm{ }}5} \right),(0;{4 \over 3}),(4;0)\)

Để vẽ đồ thị (C’) của hàm số  , ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Sachbaitap.com