Bài 1.49 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  y = 4x³ + mx              (m là tham số)       (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(y = 4{x^3} + x,y' = 12{x^2} + 1 > 0,\forall x \in R\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x₀; y₀) thì \(f'({x_0}) = 12x_0^2 + 1 = 13\) (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x  + 1). Từ đó ta có: \({x_0} =  \pm 1\)

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là \(y = 13x \pm 8\)

c) Vì  y’ = 12x² + m nên : \(m \ge 0:y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với \(m \ge 0\) ta có y’ > 0 (khi m = 0 ; y’ = 0 tại x = 0).

     Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi  \(m \ge 0:y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với m < 0 thì \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow  x =  \pm \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \)

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với \( - \infty  < x <  - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \) và \(\sqrt {{{ - m} \over {12}}}  < x <  + \infty \)

y’ < 0  với \( - \sqrt {{{ - m} \over {12}}}  < x < \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \)

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} ),(\sqrt {{{ - m} \over {12}}} ; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} ;\sqrt {{{ - m} \over {12}}} )\)

Sachbaitap.com